Репер Дарбу

Тригранник Френе на кривій у просторі — це найпростіший приклад рухомої системи координат^[en].

В диференціальній геометрії поверхонь, репер Дарбу — це природний рухомий репер^[en], побудований на поверхні. Є аналогом тригранника Френе у геометрії поверхонь. Репер Дарбу існує в будь-який не омбілічній точці на поверхні в евклідовому просторі. Названий на честь французького математика Жана Гастона Дарбу.

Репер Дарбу у точках вкладеної кривої

Нехай S — це орієнтована поверхня у тривимірному евклідовому просторі E³. Поняття репера Дарбу на поверхні S це по-перше рухомий репер, який пересувається вздовж кривої на поверхні S, а також уздовж напрямків головних кривин^[en].

Геодезична кривина, нормальна кривина та геодезичний скрут

Нехай

${\displaystyle \gamma \colon I\to {D^{2}}}$

внутрішнє рівняння кривої на регулярній поверхні S, параметризованій вектор-функцією

${\displaystyle {\overrightarrow {r}}\colon {D^{2}}\to {E^{3}}}$

Тоді її зовнішнє рівняння, як кривої у E³ запишемо як композицію

${\displaystyle {\overrightarrow {\gamma }}(t)=({\overrightarrow {r}}\circ \gamma )(t)}$, ${\displaystyle t\in I}$

Використовуючи правило диференціювання композицій відображення, знайдемо

${\displaystyle {\overrightarrow {\gamma }}^{\prime }=\partial {\overrightarrow {r}}\cdot {\gamma }^{\prime }}$

Оберемо на кривій натуральну параметризацію: ${\displaystyle \mid {\overrightarrow {\gamma }}^{\prime }\mid ={\sqrt {g({\gamma }^{\prime },{\gamma }^{\prime })}}\equiv 1}$

Тоді ${\displaystyle {\overrightarrow {\gamma }}^{\prime }}$ являє собою одиничне дотичне векторне поле вздовж ${\displaystyle {\overrightarrow {\gamma }}}$.

Якщо обмежити векторне поле нормалей поверхні на нашу криву, отримаємо векторне поле ${\displaystyle {\overrightarrow {n}}(s)=({\overrightarrow {n}}\circ \gamma )}$

Векторне поле ${\displaystyle {\overrightarrow {\nu }}_{g}(s)={\overrightarrow {n}}(s)\times {\overrightarrow {\gamma }}^{\prime }(s)}$ називають полем геодезичних нормалей кривої.

Трійку одиничних, взаємно ортогональних векторів ${\displaystyle {\overrightarrow {\tau }}={\overrightarrow {\gamma }}^{\prime }(s),{\overrightarrow {\nu }}_{g}(s),{\overrightarrow {n}}(s)}$ у точках кривої на поверхні називають репером Дарбу цієї кривої.

Розкладемо похідні по натуральному параметру векторних полів репера Дарбу по векторах цього ж репера. В силу одиничності розглянутих полів, отримаємо:

${\displaystyle {\overrightarrow {\tau }}^{\prime }={e_{1}^{2}}{\overrightarrow {\nu }}_{g}+{e_{1}^{3}}{\overrightarrow {n}}}$

${\displaystyle {{\overrightarrow {\nu }}_{g}}^{\prime }={e_{2}^{1}}{\overrightarrow {\tau }}+{e_{2}^{3}}{\overrightarrow {n}}}$

${\displaystyle {\overrightarrow {n}}^{\prime }={e_{3}^{1}}{\overrightarrow {\tau }}+{e_{3}^{2}}{\overrightarrow {\nu }}_{g}}$

Оскільки вектори репера Дарбу попарно ортогональні, то легко бачимо, що матриця коефіцієнтів такого розкладу кососиметрична, тобто ${\displaystyle {e_{2}^{1}}=-e_{1}^{2},e_{3}^{1}=-e_{1}^{3},e_{3}^{2}=-e_{2}^{3}}$. А тому ${\displaystyle e_{1}^{2},e_{1}^{3},e_{2}^{3}}$ цілком визначають цей розклад.

Коефіцієнт ${\displaystyle e_{1}^{3}}$ називають геодезичною кривиною і позначаємо ${\displaystyle k_{g}}$;

Коефіцієнт ${\displaystyle e_{2}^{3}}$ називають нормальною кривиною і позначаємо ${\displaystyle k_{n}}$;

Коефіцієнт ${\displaystyle e_{1}^{3}}$ називають геодезичним скрутом і позначаємо ${\displaystyle \varkappa _{g}}$;

Див. також

• Форма Маурера — Картана

Джерела

• Guggenheimer, Heinrich (1977). Chapter 10. Surfaces. Differential Geometry. Dover. ISBN 0-486-63433-7.
• Spivak, Michael (1999). A Comprehensive introduction to differential geometry (Volume 3). Publish or Perish. ISBN 0-914098-72-1.
• Spivak, Michael (1999). A Comprehensive introduction to differential geometry (Volume 4). Publish or Perish. ISBN 0-914098-73-X.
• Sternberg, Shlomo (1964). Lectures on differential geometry. Prentice-Hall.