Рівняння Гілла (біохімія)

Не плутати з диференціальним рівняння другого порядку з періодичною функцією.

Графік рівняння Гілла в звичайних (вгорі) та напівлогаріфмічних (внизу) координатах. По вертикалі відкладена частка сайтів зв'язування, окупованих лігандом; по горизонталі — концентрація ліганду. В обох випадках К_А=20, n=2.3; видно, що величина К_А відповідає концентрації ліганда, що викликає напівмаксимальний ефект.

Рівня́ння Гі́лла — наближення, що дозволяє кількісно описати процеси зв'язування ліганду з макромолекулою, якщо інша молекула того самого або іншого ліганду вже зв'язана з даної макромолекулою. Це рівняння названо на честь англійського фізіолога та біохіміка Арчибальда Гілла.

Рівняння описує частку макромолекул, насичених лігандом, як функцію від концентрації ліганду; воно в основному використовується для опису ступеню кооперативності зв'язування ліганду з ферментом або рецептором. Рівняння було вперше використане Арчібальдом Гіллом для опису сігмоїдної кривої зв'язування кисню з гемоглобіном^[1].

Рівняння Гілла:

${\displaystyle \theta ={[L]^{n} \over K_{d}+[L]^{n}}={[L]^{n} \over (K_{A})^{n}+[L]^{n}}}$, де

${\displaystyle \theta }$ — частка місць (сайтів) зв'язування де ліганд може зв'язатись з макромолекулою, які вже окуповані лігандом;

${\displaystyle [L]}$ — концентрація вільного (не зв'язаного з макромолекулами, або іншим реакційним субстратом) ліганду;

${\displaystyle K_{d}}$ — уявна константа дисоціації, що виводиться з закону діючих мас;

${\displaystyle K_{A}}$ — концентрація ліганду, що призводить до окупації половини наявних сайтів зв'язування (або викликає 50%-й ефект), яка числено дорівнює мікроскопічній константі дисоціації;

${\displaystyle n}$ — коефіцієнт Гілла, що визначає кооперативність реакції (але інколи і інші біохімічні властивості, залежно від контексту, в якому рівняння використовується).

Для згаданого вище випадку взаємодії кисню з гемоглобіном ${\displaystyle n}$ = 2,8—3.

Інша вживана форма запису рівняння Гілла є наступною:

${\displaystyle \log \left({\theta \over 1-\theta }\right)=n\log {[L]}-\log {K_{d}}.}$

У випадку ліганд-рецепторної взаємодії числове значення коефіцієнту Гілла визначає кооперативність ліганд-рецепторної взаємодії наступним чином:

• ${\displaystyle n>1}$ — Позитивна кооперативність: при зв'язуванні однієї молекули ліганда афінність рецептора до наступної молекули підвищується (тобто, наступна молекула зв'язується з більшою імовірністю);

• ${\displaystyle n<1}$ — Негативна кооперативність: при зв'язуванні однієї молекули ліганда афінність рецептора до наступної молекули знижується;

• ${\displaystyle n=1}$ — Некооперативна реакція: афінність рецептора або субстрата до ліганда лишається незмінною незалежно від кількості молекул ліганда, вже зв'язаних з рецептором.

Рівняння Гілла в контексті кількісного опису взаємозв'язку між концентрацією реакційного субстрату (або кількістю наявних сайтів зв'язування) та часткою окупованих сайтів зв'язування є еквівалентом рівняння Ленгмюра.

Рівняння Гілла з математичної точки зору є логістичною функцією, а в деяких випадках — її логаріфмічною формою; таким чином, при побудові графіку рівняння Гілла на логаріфмічній шкалі цей графік виглядає ідентично логістичному. Це особливо важливо при нелінійній апроксимації експериментальних даних у випадках, коли ефект ліганду є сталим для його концентрацій, які відрізняються на декілька порядків. В цьому випадку для формальної апроксимації експериментальних даних можна (а іноді навіть варто) використовувати логістичну функцію.

Примітки

1. Hill, A. V. (22 січня 1910). The possible effects of the aggregation of the molecules of hæmoglobin on its dissociation curves. J. Physiol. 40 (Suppl): iv—vii. Архів оригіналу (PDF) за 1 грудня 2008. Процитовано 18 березня 2009.

Джерела

• Dorland's Illustrated Medical Dictionary
• Lehninger Principles of Biochemistry, 4th edition, David L. Nelson & Michael M. Cox
• Coval ML (December 1970). Analysis of Hill interaction coefficients and the invalidity of the Kwon and Brown equation. J. Biol. Chem. 245 (23): 6335—6. PMID 5484812. Процитовано 18 березня 2009.
• Biochemistry, Donald Voet and Judith G. Voet
• B. Mitavskiy, D. Chu, and Radu Zabet. (2009), Models of transcription factor binding: Sensitivity of activation functions to model assumptions., Journal of Theoretical Biology, 257 (3): 419—429