Стала Чіґера

Ізопериметри́чною ста́лою Чі́ґера компактного ріманового многовиду ${\displaystyle M}$ називають додатне дійсне число ${\displaystyle h(M)}$, що визначається через найменшу площу гіперповерхні, яка ділить ${\displaystyle M}$ на дві частини рівного об'єму, що не перетинаються. 1970 року Джеф Чіґер довів нерівність, що пов'язує перше нетривіальне власне число оператора Лапласа — Бельтрамі на ${\displaystyle M}$ з числом ${\displaystyle h(M)}$. Це доведення дуже вплинуло на ріманову геометрію і сприяло створенню аналогічної концепції в теорії графів.

Визначення

Нехай ${\displaystyle M}$ — ${\displaystyle n}$-вимірний замкнутий ріманів многовид. Позначимо через ${\displaystyle V(A)}$ об'єм довільного ${\displaystyle n}$-вимірного підмноговиду ${\displaystyle A}$; через ${\displaystyle S(E)}$ позначимо ${\displaystyle n-1}$-вимірний об'єм підмноговиду ${\displaystyle E}$ (зазвичай у цьому контексті його називають «площею»). Тоді ізопериметрична стала Чіґера многовиду ${\displaystyle M}$ визначається як

${\displaystyle h(M)=\inf _{E}{\frac {S(E)}{\min(V(A),V(B))}},}$

де інфімум береться за всіма гладкими ${\displaystyle n-1}$-вимірними підмноговидами ${\displaystyle E}$ многовиду ${\displaystyle M}$, які ділять його на два неперетинних підмноговиди ${\displaystyle A}$ і ${\displaystyle B}$. Ізопериметричну сталу можна визначити і для некомпактних ріманових многовидів скінченного об'єму.

Нерівність Чіґера

Стала Чіґера ${\displaystyle h(M)}$ та найменше додатне власне число оператора Лапласа ${\displaystyle {\lambda _{1}(M)}}$ пов'язані такою фундаментальною нерівністю, яку довів Чіґер:

${\displaystyle \lambda _{1}(M)\geq {\frac {h^{2}(M)}{4}}.}$

Ця нерівність оптимальна в такому сенсі: для будь-якого ${\displaystyle h>0}$, натурального числа ${\displaystyle k}$ і ${\displaystyle \varepsilon >0}$ існує двовимірний ріманів многовид ${\displaystyle M}$ з ізопериметричною сталою ${\displaystyle h(M)=h}$ і такий, що ${\displaystyle k}$-те власне число оператора Лапласа лежить на відстані не більше ${\displaystyle \varepsilon }$ від межі Чіґера (Бузер, 1978).

Нерівність Бузера

Пітер Бузер знайшов вираз для верхньої межі ${\displaystyle {\lambda _{1}(M)}}$ через ізопериметричну константу ${\displaystyle h(M)}$. Нехай ${\displaystyle M}$ — ${\displaystyle n}$-вимірний замкнутий ріманів многовид, кривина Річчі якого обмежена зверху числом ${\displaystyle -(n-1)a^{2}}$ де ${\displaystyle a\geq 0}$.

Тоді

${\displaystyle \lambda _{1}(M)\leq 2a(n-1)h(M)+10h^{2}(M).}$

Див. також

• Стала Чіґера (теорія графів)
• Ізопериметрична нерівність

Посилання

• Peter Buser, A note on the isoperimetric constant. — Ann. Sci. École Norm. Sup. (4) 15 (1982), no. 2, 213—230 MR0683635
• Peter Buser, «Über eine Ungleichung von Cheeger». — Math. Z. 158 (1978), no. 3, 245—252. MR0478248
• Джеф Чіґер, A lower bound for the smallest eigenvalue of the Laplacian. — Problems in analysis (Papers dedicated to Salomon Bochner, 1969), pp. 195—199. Princeton Univ. Press, Princeton, N. J., 1970 MR0402831
• Олександр Любоцький^[en], Discrete groups, expanding graphs and invariant measures. — Progress in Mathematics, vol 125, Birkhäuser Verlag, Basel, 1994