Теорема Брауера про інваріантність областей

Теорема про інваріантність областей стверджує, що образ відкритої підмножини евклідового простору при неперервному ін'єктивному відображенні у цей же евклідів простір є відкритою множиною. Теорема була доведена Лейтзеном Брауером. [1]

Формулювання

[ред. | ред. код]

Нехай відкрита підмножина у і ін'єктивне неперервне відображення. Тоді образ є відкритою підмножиною у , і є гомеоморфізмом між і тобто є відкритим і замкнутим відображенням.

Not a homeomorphism onto its image
Образ ін'єктивного неперервного відображення відкритого інтервалу в площину є негомеоморфним самому інтервалу.

Зауваження

[ред. | ред. код]
  • Як видно на картинці, твердження теореми не є вірним для відображення між евклідовими просторами різної розмірності
  • Також твердження є невірним для просторів нескінченної розмірності. Наприклад, відображення правого зсуву
гільбертового простору у себе є неперервним і ін'єктивним, але не є відкритим.

Доведення

[ред. | ред. код]

Дане доведення використовує властивості відкритих і замкнутих відображень, а також теорему Брауера — Жордана, що є узагальненням теореми Жордана про криві.

Для доведення теореми достатньо довести, що для будь-якої відкритої множини образ є відкритою підмножиною у . Більш того достатньо довести твердження для елементів деякої бази топології, наприклад відкритих куль виду радіуса із центром , що із своїм замиканням належать U.

є компактною множиною і є ін'єктивним неперервним відображенням із компактного простору у простір , що є гаусдорфовим. Як неперервне відображення із компактного простору в гаусдорфовий є замкнутим відображенням (замкнута підмножина компактного простору є компактною, її образ при неперервному відображенні теж буде компактною підмножиною, а компактна підмножина гаусдорфового простору є замкнутою; тобто образ замкнутої множини при таких умовах теж э замкнутою множиною). Оскільки є ін'єктивним, то він також є гомеоморфізмом. Тому образ є гомеоморфним сфері і згідно з теоремою Брауера — Жордана доповнення є об'єднанням двох компонент зв'язності перша з яких є обмежена, а друга — необмежена.

Множина (де є замиканням ) є компактною, як образ компактної множини при неперервному відображенні. Тому є обмеженою множиною і є необмеженою, зв'язаною областю. Звідси або еквівалентно

Множина є зв'язаною, тому і є зв'язаною і тому міститься в одній із компонент зв'язності . Оскільки то цією компонентою є і тоді також і остаточно Тобто образом довільної відкритої множини із вказаної бази є відкрита множина і відображення є відкритим.

Наслідки

[ред. | ред. код]
  • З теореми випливає, що Евклідові простори різної розмірності не є гомеоморфними.
  • За допомогою теореми можна довести багато тверджень про існування опуклих многогранників, зокрема існування опуклого многогранника з даною розгорткою [2]

Узагальнення

[ред. | ред. код]
  • Теорема про інваріантності області допускає пряме узагальнення на відображення між многовидами однакової розмірності.
  • Існують також узагальнення для деяких видів неперервних відображень з банахових просторів у себе. [3]

Примітки

[ред. | ред. код]
  1. Brouwer L.E.J. Beweis der Invarianz des n-dimensionalen Gebiets, Mathematische Annalen 71 (1912), ст. 305–315; див. також 72 (1912), ст. 55–56
  2. А. Д. Александров. Элементарное доказательство теоремы Минковского и некоторых других теорем о выпуклых многогранниках // Изв. АН СССР. Сер. Матем.. — 1937. — Т. 1, № 4. — С. 597—608.
  3. Leray J. Topologie des espaces abstraits de M. Banach.

Див. також

[ред. | ред. код]

Література

[ред. | ред. код]
  • Madsen, I. H.; Tornehave, J (1997). From Calculus to Cohomology: De Rham Cohomology and Characteristic Classes. Cambridge University Press. ISBN 978-0521580595.