Теорема Вітни про вкладення — затвердження дифференціальної топології, згідно якому довільно гладке
-вимірне багатообразність з лічильною базою допускає гладке вкладення в
-вимірний євклідів простір. Установлено Хасслером Уитни в 1938 году.
Наведений результат є оптимальним, коли
— ступінь двійки: тоді
-вимірний проєктивний простір неможливо вкласти в
-вимірний евклідів простір.
Випадки
і
встановлюються напряму.
Для доказу випадку
, використовується факт, що гладке відображення загального положення
є імерсією з кінцевою кількістю точок трансверсального самоперетину.
Позбутися від цих точок самоперетину можна, кілька разів застосувавши трюк Вітні. Він складається з наступного. Візьмемо точки
самоперетин відображення
маючи різні знаки. Візьмемо крапки
, для яких
і
. З'єднаємо
та
гладкою кривою
. З'єднаємо
і
гладкою кривою
. Тоді
є замкнута крива в
. Далі побудуємо відображення
з границею
. Загалом,
є вкладенням та
(якраз тут використовується те, що
). Тоді можна ізотопувати
у маленькій околиці диска
ак, щоб ця пара точок самоперетину зникла. В останнє твердження легко повірити, представивши картинку для
(В якій властивості диска виявилися виконані випадково, а не за загальним положенням).
Наведемо малюнок іншого способу позбавитися точок самоперетину відображення загального положення
. Він ґрунтується на важливій ідеї поглинання. (Іноді це застосування цієї іншої ідеї помилково називають трюком Вітні.) Візьмемо точку
самоперетину відображення
. Візьмемо крапки
, для яких
. З'єднаємо
і
гладкою кривою
. Тоді
є замкнута крива в
. Далі побудуємо відображення
з кордоном
. Загалом,
є вкладенням та
(якраз тут використовується те, що m⩾3). Тепер можна ізотопувати
у маленькій околиці диска
так, щоб ця точка самоперетину зникла.
Нехай
є гладке m-вимірне різноманіття, де
:
- Якщо m не є ступенем двійки, тоді існує вкладення
в
.
може бути занурене в
.
- Більше того
може бути занурене в
, де
є число одиниць у двійковому представлені числа
.
- Останній результат є оптимальним: для будь-якого
можна можна побудувати m-вимірне різноманіття (наприклад добуток речових проективних просторів), яке неможливо занурити в
.
- Теорема Мостоу — Паласа даёт эквиваринтный вариант теоремы Уитни о вложении.