Теорема Гробмана — Гартмана

У теорії динамічних систем, теорема Гробмана — Гартмана стверджує, що в околі гіперболічної нерухомої точки поведінка динамічної системи з точністю до неперервної заміни координат збігається з поведінкою її лінеаризації. Названо на честь радянського математика Д. Гробмана^[ru][1] та американського математика Ф. Гартмана^[de], які, незалежно один від одного, отримали цей результат.

Формулювання

Нехай p — гіперболічна нерухома точка дифеоморфізму ${\displaystyle f}$, а ${\displaystyle L:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n}}$ — лінейна частина відображення ${\displaystyle f}$ у точці ${\displaystyle p}$, записана в локальних координатах. Тоді знайдуться околи ${\displaystyle U}$ точки ${\displaystyle p}$ і ${\displaystyle V}$ точки 0 й гомеоморфізм ${\displaystyle h:(U\cup f(U))\to (V\cup L(V)),}$ що ${\displaystyle h\circ f=L\circ h}$ на ${\displaystyle U}$.

Примітки

1. Страница на портале www.mathnet.ru. Архів оригіналу за 8 травня 2018. Процитовано 8 травня 2018.

Література

• Каток А. Б.^[ru], Хассельблат Б.^[de]. Введение в современную теорию динамических систем = Introduction to the Modern Theory of Dynamical Systems / пер. с англ. А. Кононенко при участии С. Ферлегера. — М. : Факториал, 1999. — С. 265. — ISBN 5-88688-042-9.
• Д. Гробман, Гомеоморфизм систем дифференциальных уравнений, ДАН СССР 128 (1959), no. 5, с. 880—881.
• P. Hartman, A lemma in the theory of structural stability of differential equations. Proc. A.M.S. 11 (1960), no. 4, pp. 610—620.
• В. И. Арнольд, Ю. С. Ильяшенко. Обыкновенные дифференциальные уравнения, Динамические системы — 1, Итоги науки и техн. Сер. Соврем. пробл. мат. Фундам. направления, 1, ВИНИТИ, М., 1985, 7–140