Теорема Гірсанова

Візуалізація теореми Гірсанова — в лівій частині зображено процес Вінера з від'ємним дріфтом за канонічною мірою ${\displaystyle P}$; в правій частині кожен шлях процесу забарвлений відповідно до його ймовірності за мартингальною мірою ${\displaystyle Q}$. Перетворення щільності з ${\displaystyle P}$ на ${\displaystyle Q}$ задається теоремою Гірсанова.

У теорії ймовірностей теорема Гірсанова (названа на честь Ігоря Володимировича Гірсанова ) описує, як змінюється динаміка стохастичних процесів при зміні вихідної міри на еквівалентну ймовірнісну міру. ^{[1] :607}Теорема особливо важлива в теорії фінансової математики, оскільки вона демонструє як перетворити міру, яка описує ймовірність того, що базовий інструмент (такий як ціна акції або відсоткова ставка ) прийме певне значення або значення нейтральної за ризиком міри, яка є дуже корисним інструментом для визначення цін на похідні фінансові інструменти.

Історія

Перші результати були доведені Камероном—Мартіном у 1940-х роках та Гірсановим у 1960 році ^[2]. Згодом вони були поширені на більш загальні класи процесів, що завершилися загальною формою Ленгларта (1977). ^[3]

Значущість

Теорема Гірсанова грає важливу роль в загальній теорії випадкових процесів, так як вона демонструє, що якщо ${\displaystyle Q}$ є абсолютно неперервної мірою щодо ${\displaystyle P}$, то кожен ${\displaystyle P}$-семімартінгал є ${\displaystyle Q}$-семімартингалом.

Твердження

Спочатку сформулюємо теорему для особливого випадку, коли стохастичний процес, що лежить в основі, є процесом Броунівского руху. Цього окремого випадку достатньо для ціноутворення, що нейтралізує ризик, у моделі Блека—Шоулза та у багатьох інших моделях (наприклад, в усіх неперервних моделях).

Нехай ${\displaystyle \{W_{t}\}}$ є процесом Вінера на ймовірнісному просторі ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},P)}$. Нехай ${\displaystyle \{X_{t}\}}$ є вимірним процесом, адаптованим до природної фільтрації процесу Вінера ${\displaystyle \{{\mathcal {F}}_{t}^{W}\}}$ з ${\displaystyle X_{0}=0}$ .

Визначимо експоненту Долеана—Даде ${\displaystyle {\mathcal {E}}(X)_{t}}$ ${\displaystyle X}$ по відношенню до ${\displaystyle W}$

${\displaystyle {\mathcal {E}}(X)_{t}=\exp \left(X_{t}-{\frac {1}{2}}[X]_{t}\right),}$

де ${\displaystyle [X]_{t}}$ — це квадратична варіація ${\displaystyle X_{t}}$. Якщо ${\displaystyle {\mathcal {E}}(X)_{t}}$ є строго додатним мартингалом, на ньому можна визначити ймовірнісну міру ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}})}$ таку, що маємо похідну Радона—Нікодима

${\displaystyle {\frac {{\rm {d}}Q}{{\rm {d}}P}}{\bigg |}_{{\mathcal {F}}_{t}}={\mathcal {E}}(X)_{t}}$.

Тоді для кожного ${\displaystyle t}$ міра ${\displaystyle Q}$ звужується на ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{t}^{W}}$, що еквівалентно ${\displaystyle P}$ звужується на ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{t}^{W}}$. Крім того, якщо ${\displaystyle Y}$ — локальний мартингал за ${\displaystyle P}$, то процес

${\displaystyle {\tilde {Y}}_{t}=Y_{t}-\left[Y,X\right]_{t}}$

є ${\displaystyle Q}$ локальним мартингалом на фільтрованому просторі ймовірностей ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},\{{\mathcal {F}}_{t}^{W}\},Q)}$.

Висновок

Якщо ${\displaystyle X}$ — неперервний процес і ${\displaystyle W}$ — броунівський рух за мірою ${\displaystyle P}$, то

${\displaystyle {\tilde {W}}_{t}=W_{t}-\left[W,X\right]_{t}}$

— це броунівський рух за ${\displaystyle Q}$.

Справа в тому, що ${\displaystyle {\tilde {W}}_{t}}$ неперервний; за теоремою Гірсанова це ${\displaystyle Q}$ — локальний мартингал, а шляхом обчислення квадратичної варіації

${\displaystyle \left[{\tilde {W}}\right]_{t}=\left[W_{t},W_{t}\right]-2\left[W_{t},[W,X]_{t}\right]+\left[[W,X]_{t},[W,X]_{t}\right]=\left[W\right]_{t}=t}$

за характеристикою Леві броунівського руху випливає, що ${\displaystyle Q}$ — броунівський рух.

Коментарі

У багатьох статтях процес ${\displaystyle X}$ визначається за допомогою

${\displaystyle X_{t}=\int _{0}^{t}Y_{s}\,{\rm {d}}W_{s}.}$

Якщо ${\displaystyle X}$ має таку форму, то достатньою умовою для ${\displaystyle {\mathcal {E}}(X)}$ бути мартингалом — це умова Новікова, яка цього вимагає

${\displaystyle E_{P}\left[\exp \left({\frac {1}{2}}\int _{0}^{T}Y_{s}^{2}\,{\rm {d}}s\right)\right]<\infty .}$

Стохастична експонента ${\displaystyle {\mathcal {E}}(X)}$ — це процес ${\displaystyle Z}$, який вирішує стохастичне диференціальне рівняння

${\displaystyle Z_{t}=1+\int _{0}^{t}Z_{s}\,{\rm {d}}X_{s}.\,}$

Побудована вище міра ${\displaystyle Q}$ не еквівалентна ${\displaystyle P}$ на ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{\infty }}$, оскільки це було б тільки в тому випадку, якщо похідна Радона—Нікодима була б рівномірно інтегрованим мартингалом, але описаний вище експоненціальний мартингал не є таким (для ${\displaystyle \lambda \neq 0}$ ).

Застосування у фінансах

У фінансах теорема Гірсанова використовується щоразу, коли потрібно вивести динаміку активу за новою ймовірнісною мірою. Найвідоміший випадок — перехід від історичної міри ${\displaystyle P}$ до нейтральної до ризику міри ${\displaystyle Q}$, яка виконується у моделі Блека—Шоулза за похідною Радона—Нікодима:

${\displaystyle {\frac {{\rm {d}}Q}{{\rm {d}}P}}={\mathcal {E}}\left(\int _{0}^{\cdot }{\frac {r-\mu }{\sigma }}\,{\rm {d}}W_{s}\right),}$

де ${\displaystyle r}$ позначає миттєву безризикову ставку, ${\displaystyle \mu }$ дріфт активу та ${\displaystyle \sigma }$ його волатильність. Іншими класичними застосуваннями теореми Гірсанова є квантові коригування та розрахунок дріфтів форвардів за моделлю ринку LIBOR .

Дивись також

• Теорема Камерона—Мартіна^[en]
• Стохастична експонента^[en]

Посилання 

1. Musiela, M.; Rutkowski, M. (2004). Martingale Methods in Financial Modelling. New York: Springer. ISBN 3-540-20966-2.
2. Girsanov, I. V. (1960). On transforming a certain class of stochastic processes by absolutely continuous substitution of measures. Theory of Probability and Its Applications. 5 (3): 285—301. doi:10.1137/1105027.
3. Lenglart, É. (1977). Transformation des martingales locales par changement absolument continu de probabilités. Zeitschrift für Wahrscheinlichkeit. 39 (1): 65—70. doi:10.1007/BF01844873.