Теорема Рауса — Гурвіца

Теорема Рауса — Гурвіца — це критерій належності всіх коренів многочлена до лівої половини комплексної площини. Многочлени з такою властивістю називаються стабільними за Гурвіцем.

Це теорема важлива для динамічних систем в теорії керування, оскільки характеристичний многочлен стабільної лінійної системи диференціальних рівнянь має корені тільки в лівій півплощині (від'ємні власні значення).

Це теорема надає математичний тест стабільності системи, без знаходження розв'язків. Вона була доведена 1895 року і названа на честь Едварда Рауса та Адольфа Гурвіца.

Позначення

Нехай ${\displaystyle f(z)}$ многочлен з комплексними коефіцієнтами степеня ${\displaystyle n}$ без коренів на уявній осі (тобто з нулевою дійсною частиною). А два дійсні многочлени ${\displaystyle P_{0}(y)}$ та ${\displaystyle P_{1}(y)}$, такі що ${\displaystyle f(iy)=P_{0}(y)+iP_{1}(y)}$, є дійсною та комплексною частиною ${\displaystyle f}$ на уявній осі.

Також позначимо:

• ${\displaystyle p}$ кількість коренів ${\displaystyle f}$ в лівій півплощині (з урахуванням кратності);
• ${\displaystyle q}$ кількість коренів ${\displaystyle f}$ в правій півплощині (з урахуванням кратності);
• Δ arg f(iy) зміну аргумента f(iy) коли ${\displaystyle y}$ змінюється від −∞ до +∞;
• ${\displaystyle w(x)}$ кількість змін узагальненого ланцюга Штурма отриманого з ${\displaystyle P_{0}(y)}$ та P_1(y) застосуванням алгоритму Евкліда;
• ${\displaystyle I_{-\infty }^{+\infty }r}$ — індекс Коші раціональної функції ${\displaystyle r}$ вздовж дійсної осі.

Твердження

Використовуючи ці позначення, теорема стверджує:

${\displaystyle p-q={\frac {1}{\pi }}\Delta \arg f(iy)=\left.{\begin{cases}+I_{-\infty }^{+\infty }{\frac {P_{0}(y)}{P_{1}(y)}}&{\text{для непарного степеня}}\\[10pt]-I_{-\infty }^{+\infty }{\frac {P_{1}(y)}{P_{0}(y)}}&{\text{для парного степеня}}\end{cases}}\right\}=w(+\infty )-w(-\infty ).}$

З першої рівності, наприклад, можна стверджувати, що коли зміна аргумента ${\displaystyle f(iy)}$ додатна, то ${\displaystyle f(z)}$ матиме більше коренів зліва від уявної осі ніж справа.

Рівність p − q = w(+∞) − w(−∞) є комплексним аналогом теореми Штурма. З тою різницею що: в теоремі Штурма зліва p + q та w — кількість змін в ланцюгу Штурма (коли в цій теоремі, w — кількість змін в узагальненому ланцюгу Штурма).

Критерій стабільності Рауса — Гурвіца

Використовуючи цю теорему, критерій стабільності є тривіальним: ${\displaystyle f(z)}$ є стабільною за Гурвіцем тоді й лише тоді коли ${\displaystyle p-q=n}$. Умовою на коефіцієнти ${\displaystyle f(z)}$ буде w(+∞) = n та w(−∞) = 0.

Див. також

• Критерій стійкості Гурвіца
• Критерій стійкості Рауса

Джерела

• Routh, E. J. (1877). A Treatise on the Stability of a Given State of Motion, Particularly Steady Motion. Macmillan and co.
• Hurwitz, A. (1964). On The Conditions Under Which An Equation Has Only Roots With Negative Real Parts. У Bellman, Richard; Kalaba, Robert E. (ред.). Selected Papers on Mathematical Trends in Control Theory. New York: Dover.
• Гантмахер Ф. Р. Теорія матриць. — 2024. — 703 с.(укр.)