Теорема Трудінгера

У математичному аналізі теорема Трудінгера або нерівність Трудінгера (також іноді звана нерівністю Мозера — Трудінгера) — результат функціонального аналізу на просторах Соболєва. Названо на честь Ніла Трудінгера^[en] (і Юргена Мозера).

Описує нерівність між деякою нормою простору Соболєва та нормою простору Орліча функції. Нерівність є граничним випадком вкладення Соболєва, її можна сформулювати у вигляді такої теореми: Нехай ${\displaystyle \Omega }$ — обмежена область в ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$, яка задовольняє умову конуса. Нехай ${\displaystyle mp=n}$ і ${\displaystyle p>1}$. Нехай

${\displaystyle A(t)=\exp \left(t^{n/(n-m)}\right)-1.}$

Тоді існує вкладення

${\displaystyle W^{m,p}(\Omega )\hookrightarrow L_{A}(\Omega )}$

де

${\displaystyle L_{A}(\Omega )=\left\{u\in M_{f}(\Omega ):\|u\|_{A,\Omega }=\inf\{k>0:\int _{\Omega }A\left({\frac {|u(x)|}{k}}\right)~dx\leq 1\}<\infty \right\}.}$

Простір

${\displaystyle L_{A}(\Omega )}$

є прикладом простору Орліча.

Джерела

• Moser, J. (1971), A Sharp form of an Inequality by N. Trudinger, Indiana Univ. Math. J., 20 (11): 1077—1092, doi:10.1512/iumj.1971.20.20101.
• Trudinger, N. S. (1967), On imbeddings into Orlicz spaces and some applications, J. Math. Mech., 17: 473—483.