Теорема Фенхеля про поворот кривої

Теорема Фенхеля стверджує, що варіація повороту будь-якої замкнутої кривої не менша від ${\displaystyle 2{\cdot }\pi }$ і рівність досягається лише в разі опуклої плоскої кривої. Зокрема, середня кривина замкнутої кривої довжини ${\displaystyle \ell }$ не може бути меншою від ${\displaystyle 2{\cdot }\pi /\ell }$.

Теорему довів Вернер Фенхель^[en] 1929 року.^[1]

Про доведення

Зазвичай доведення будують на твердженні, що сферична крива довжини менше ніж ${\displaystyle 2{\cdot }\pi }$ лежить у відкритій півсфері. Це твердження можна довести, наприклад, застосувавши формулу Крофтона, але відомі й елементарніші доведення.

Залишається зауважити, що крива, утворена одиничними дотичними векторами (дотична індикатриса) до початкової кривої, не може лежати у відкритій півсфері. Отже її довжина не менша від ${\displaystyle 2{\cdot }\pi }$, довжина ж цієї кривої збігається з інтегралом кривини.

Варіації та узагальнення

• Лема Решетняка про хорду. Якщо регулярна гладка ${\displaystyle \gamma \colon [a,b]\to \mathbb {R} ^{n}}$ підходить до своєї хорди ${\displaystyle [\gamma (a),\gamma (b)]}$ під кутами ${\displaystyle \alpha }$ і ${\displaystyle \beta }$, то поворот кривий ${\displaystyle \gamma }$ принаймні ${\displaystyle \alpha +\beta }$.
  • Це твердження легко випливає з теореми Фенхеля, але найчастіше його зручніше використовувати. Наприклад, сама теорема Фенхеля випливає, якщо застосувати лему до розбиття замкнутої кривої на дві дуги.

Див. також

• Теорема Фарі — Мілнора
• Теорема про поворот плоскої кривої

Примітки

1. W. Fenchel (1929) Über Krümmung und Windung geschlossener Raumkurven^{[недоступне посилання з Февраль 2020]}, Mathematische Annalen 101: 238—252.

Література

• Топоногов, В. А. Дифференциальная геометрия кривых и поверхностей. — Физматкнига, 2012. — ISBN 978-5-89155-213-5.