Теорема Фробеніуса

Теорема Фробеніуса — теорема, що описує основні алгебри з діленням.

Ця теорема сформульована німецьким математиком Фердинандом Георгом Фробеніусом в 1878 році.

Формулювання теореми

Довільна альтернативна алгебра з діленням ізоморфна одній з чотирьох алгебр:

1. дійсних чисел
2. комплексних чисел
3. кватерніонів
4. октоніонів

Доведення

Якщо ${\displaystyle \ {\mathcal {A}}}$ — альтернативна алгебра з діленням, то доводяться її властивості:

• Алгебра ${\displaystyle \ {\mathcal {A}}}$ має одиницю.

• Якщо елемент ${\displaystyle \mathbf {a} \in {\mathcal {A}}}$ і не пропорційний ${\displaystyle \mathbf {1} ,}$ то сукупність ${\displaystyle \ {\mathcal {K}}_{a}}$ елементів виду ${\displaystyle \alpha \mathbf {1} +\beta \mathbf {a} ,}$ утворює підалгебру, ізоморфну алгебрі комплексних чисел.

• Якщо елементи ${\displaystyle \mathbf {a_{1},a_{2}} \in {\mathcal {A}}}$ не належать одній підалгебрі ${\displaystyle \ {\mathcal {K}}_{a},}$ то сукупність ${\displaystyle \ {\mathcal {Q}}_{a_{1}a_{2}},}$ елементів виду ${\displaystyle \alpha \mathbf {1} +\beta \mathbf {a_{1}} +\gamma \mathbf {a_{2}} +\delta \mathbf {a_{1}a_{2}} ,}$ утворює підалгебру ізоморфну алгебрі кватерніонів.

• …

Джерела

• Кантор И. Л., Солодовников А. С. Гиперкомплексные числа. — Москва : Наука, 1973. — 144 с.(рос.)