Теорема про довільну зупинку

Не плутати з Оптимальна зупинка.

У теорії ймовірностей теорема про необов'язкову зупинку (іноді також теорема Дуба про необов'язкове вибіркове спостереження, на честь американського ймовірнісника Джозефа Дуба(інші мови)) стверджує, що, за певних умов, математичне сподівання мартингала в момент зупинки дорівнює його початковому математичному сподіванню. Оскільки мартингали можуть використовуватись для моделювання статку гравця в чесній грі, теорема про необов'язкову зупинку стверджує, що в середньому нічого не можна виграти, зупиняючи гру на основі інформації, доступної до цього моменту (тобто без погляду в майбутнє). Для правильності цього результату необхідні певні умови. Зокрема, теорема застосовується до стратегій подвоєння(інші мови).

Теорема про необов'язкову зупинку є важливим інструментом математичних фінансів у контексті фундаментальної теореми ціноутворення активів(інші мови).

Твердження

Нижче наведено версію теореми для дискретного часу, де ${\displaystyle \mathbb {N} }$₀ позначає множину натуральних чисел, включаючи нуль.

Нехай X = (X_t)_{t∈${\displaystyle \mathbb {N} }$0} є дискретним мартингал, а τ — час зупинки з значеннями у ${\displaystyle \mathbb {N} }$₀ ∪ {∞}, обидва відносно фільтрації (F_t)_{t∈${\displaystyle \mathbb {N} }$0}. Припустимо, що виконується одна з наступних трьох умов:

(a) Час зупинки τ є майже напевно обмеженим, тобто існує константа c ∈ ${\displaystyle \mathbb {N} }$, така що τ ≤ c майже напевно.

(b) Час зупинки τ має скінченне математичне сподівання, і умовні математичні сподівання абсолютної величини приростів мартингала майже напевно обмежені, а саме ${\displaystyle \mathbb {E} [\tau ]<\infty }$ і існує константа c, така що ${\displaystyle \mathbb {E} {\bigl [}|X_{t+1}-X_{t}|\,{\big \vert }\,{\mathcal {F}}_{t}{\bigr ]}\leq c}$ майже напевно на події {τ > t} для всіх t ∈ ${\displaystyle \mathbb {N} }$₀.

(c) Існує константа c, така що |X_t∧τ| ≤ c майже напевно для всіх t ∈ ${\displaystyle \mathbb {N} }$₀ де ∧ позначає оператор мінімуму.

Тоді X_τ є майже напевно добре визначеною випадковою величиною, і ${\displaystyle \mathbb {E} [X_{\tau }]=\mathbb {E} [X_{0}].}$

Аналогічно, якщо стохастичний процес X = (X_t)_{t∈${\displaystyle \mathbb {N} }$0} є субмартингалом або супермартингалом і виконується одна з наведених умов, то

${\displaystyle \mathbb {E} [X_{\tau }]\geq \mathbb {E} [X_{0}],}$

для субмартингала, і

${\displaystyle \mathbb {E} [X_{\tau }]\leq \mathbb {E} [X_{0}],}$

для супермартингала.

Примітка

За умови (c) можливо, що τ = ∞ відбувається з позитивною ймовірністю. У цьому випадку X_τ визначається як майже напевно існуюча точкова границя (X_t)_{t∈${\displaystyle \mathbb {N} }$0}, див. докази нижче для деталей.

Застосування

• Теорему про необов'язкову зупинку можна використати для доведення неможливості успішних стратегій ставок для гравця з обмеженим часом життя (що дає умову (a)) або обмеженням на ставки (умова (b)). Припустимо, що гравець може ставити до c доларів на чесне підкидання монети на часах 1, 2, 3 і т.д., виграючи свою ставку, якщо монета випаде орлом, і програючи її, якщо монета випаде решкою. Припустимо також, що він може припинити гру коли завгодно, але не може передбачити результат ще не зіграних підкидань. Тоді статок гравця з часом є мартингалом, а час τ, коли він вирішує припинити гру (або йому доводиться припинити через банкрутство), є часом зупинки. Таким чином, теорема стверджує, що E[X_τ] = E[X₀]. Іншими словами, гравець залишає гру з такою ж кількістю грошей в середньому, як і при початку. (Той самий результат діє, якщо у гравця замість обмеження на окремі ставки є обмеження на його кредитну лінію або на те, наскільки далеко він може зайти в борг, хоча це легше показати за допомогою іншої версії теореми.)
• Припустимо, що випадковий блукач починається в a ≥ 0 і рухається вгору або вниз на одиницю з рівною ймовірністю на кожному кроці. Припустимо також, що блукання зупиняється, якщо воно досягає 0 або m ≥ a; час, коли це вперше відбувається, є часом зупинки. Якщо відомо, що очікуваний час закінчення блукання є скінченним (скажімо, з теорії ланцюгів Маркова), теорема про необов'язкову зупинку передбачає, що очікувана кінцева позиція дорівнює початковій позиції a. Розв'язуючи a = pm + (1 – p)0 для ймовірності p того, що блукання досягне m до 0, отримуємо p = a/m.
• Тепер розглянемо випадковий блукач X, що починається з 0 і зупиняється, якщо він досягає –m або +m, і використаємо мартингал Y_n = X_n² – n з розділу прикладів. Якщо τ — це час, коли X вперше досягає ±m, то 0 = E[Y₀] = E[Y_τ] = m² – E[τ]. Це дає E[τ] = m².
• Однак, слід бути обережним, щоб забезпечити виконання хоча б однієї з умов теореми. Наприклад, припустимо, що в останньому прикладі було використано 'однобічний' час зупинки, так що зупинка відбувається лише при +m, а не при –m. Тоді значення X в цей час зупинки буде m. Тому очікуване значення E[X_τ] повинно також дорівнювати m, що, здається, суперечить теоремі, яка дає E[X_τ] = 0. Невиконання теореми про необов'язкову зупинку показує, що всі три умови не виконуються.

Доведення

Нехай X^τ позначає зупинений процес(інші мови), який також є мартингалом (або субмартингалом чи супермартингалом відповідно). За умовами (a) або (b) випадкова величина X_τ є добре визначеною. За умовою (c) зупинений процес X^τ обмежений, отже, за теоремою збіжності мартингала(інші мови) він сходиться майже напевно до випадкової величини, яку ми позначаємо як X_τ.

Якщо виконано умову (c), то зупинений процес X^τ обмежений сталою випадковою величиною M := c. В іншому випадку, розглядаючи зупинений процес як

${\displaystyle X_{t}^{\tau }=X_{0}+\sum _{s=0}^{\tau -1\land t-1}(X_{s+1}-X_{s}),\quad t\in {\mathbb {N} }_{0},}$

отримуємо |X_t^τ| ≤ M для всіх t ∈ ${\displaystyle \mathbb {N} }$₀, де

${\displaystyle M:=|X_{0}|+\sum _{s=0}^{\tau -1}|X_{s+1}-X_{s}|=|X_{0}|+\sum _{s=0}^{\infty }|X_{s+1}-X_{s}|\cdot \mathbf {1} _{\{\tau >s\}}}$.

За допомогою теорема монотонної збіжності

${\displaystyle \mathbb {E} [M]=\mathbb {E} [|X_{0}|]+\sum _{s=0}^{\infty }\mathbb {E} {\bigl [}|X_{s+1}-X_{s}|\cdot \mathbf {1} _{\{\tau >s\}}{\bigr ]}}$.

Якщо виконано умову (a), то ця сума має лише кінчену кількість ненульових членів, тому M є інтегрованим.

Якщо виконано умову (b), то продовжуємо, вставляючи умовне математичне сподівання та використовуючи, що подія {τ > s} відома в час s (зауважте, що τ є часом зупинки щодо фільтрації), отже

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbb {E} [M]&=\mathbb {E} [|X_{0}|]+\sum _{s=0}^{\infty }\mathbb {E} {\bigl [}\underbrace {\mathbb {E} {\bigl [}|X_{s+1}-X_{s}|{\big |}{\mathcal {F}}_{s}{\bigr ]}\cdot \mathbf {1} _{\{\tau >s\}}} _{\leq \,c\,\mathbf {1} _{\{\tau >s\}}{\text{ a.s. by (b)}}}{\bigr ]}\\&\leq \mathbb {E} [|X_{0}|]+c\sum _{s=0}^{\infty }\mathbb {P} (\tau >s)\\&=\mathbb {E} [|X_{0}|]+c\,\mathbb {E} [\tau ]<\infty ,\\\end{aligned}}}$

де використано представлення математичного сподівання для випадкових величин, що набувають ненегативних цілих значень для останнього рівняння.

Отже, за будь-якою з трьох умов теореми зупинений процес домінує інтегрованою випадковою величиною M. Оскільки зупинений процес X^τ сходиться майже напевно до X_τ, теорема теорема домінованої збіжності дає

${\displaystyle \mathbb {E} [X_{\tau }]=\lim _{t\to \infty }\mathbb {E} [X_{t}^{\tau }].}$

За властивістю мартингала зупиненого процесу

${\displaystyle \mathbb {E} [X_{t}^{\tau }]=\mathbb {E} [X_{0}],\quad t\in {\mathbb {N} }_{0},}$

отже

${\displaystyle \mathbb {E} [X_{\tau }]=\mathbb {E} [X_{0}].}$

Аналогічно, якщо X є субмартингалом або супермартингалом, відповідно, змінюється рівність у останніх двох формулах на відповідну нерівність.

Посилання

1. Grimmett, Geoffrey R.; Stirzaker, David R. (2001). Probability and Random Processes (вид. 3rd). Oxford University Press. с. 491–495. ISBN 9780198572220.
2. Bhattacharya, Rabi; Waymire, Edward C. (2007). A Basic Course in Probability Theory. Springer. с. 43—45. ISBN 978-0-387-71939-9.

Зовнішні посилання

• Doob's Optional Stopping Theorem