Теорема про симпліційне наближення

У математиці, зокрема алгебричній топології, симпліційне наближення неперервного відображення є важливим засобом, що пов'язує комбінаторні і неперервні методи. Теорема про симпліційне наближення стверджує, що довільне неперервне відображення із скінченного симпліційного комплексу у інший симпліційний комплекс (після застосування достатню кількість разів процесу барицентричного розбиття) може бути наближено симпліційним відображенням. Теорема була доведена у 1910 році Лейтзеном Брауером для доведення топологічної інваріантності симпліційної гомології.

Твердження теореми

Якщо ${\displaystyle g\colon |K|\to |L|}$ є неперервним відображенням між поліедрами і симпліційний комплекс K є скінченним, то існує число ${\displaystyle n_{0}}$ таке, що для всіх ${\displaystyle n\geqslant n_{0}}$ існує симпліційне наближення ${\displaystyle f:\mathrm {Bd} ^{n}K\to L}$ до ${\displaystyle g.}$ Тут ${\displaystyle \mathrm {Bd} ^{n}\;K}$ позначає застосування n разів процесу барицентричного розбиття до симпліційного комплексу.

Доведення

Оскільки симпліційний комплекс K є скінченним, то існує максимальна розмірність його симплексів, яку позначимо m. Відкриті множини ${\displaystyle {\text{st}}(a),}$ для всіх вершин ${\displaystyle a\in K}$ утворюють відкрите покриття простору ${\displaystyle |K|.}$ Позначино ${\displaystyle \operatorname {mesh} K}$ діаметр цього покриття, тобто найбільший діаметр у всіх множин ${\displaystyle {\text{st}}(a).}$ Очевидно, що ${\displaystyle \operatorname {mesh} K\leqslant 2\lambda ,}$ де ${\displaystyle \lambda }$ позначає найбільшу довжину 1-симплексів у комплексі K.

Нехай тепер ${\displaystyle \mathrm {Bd} K}$ є барицентричним розбиттям комплексу K і ${\displaystyle \mu }$ позначає найбільшу довжину його 1-симплекса. За означенням барицентричного розбиття цей 1-симплекс сполучає барицентр деякого k-симплекса (де k менше або рівне m) із барицентром деякої його r грані. Нехай ${\displaystyle a_{0},\ldots ,a_{k}}$ є вершинами відповідного k-симплекса так, що ${\displaystyle a_{0},\ldots ,a_{r}}$ є вершинами відповідної r грані. Тоді:

${\displaystyle {\begin{aligned}\mu =&\left|{\frac {1}{r+1}}\sum _{i=0}^{r}a_{i}-{\frac {1}{k+1}}\sum _{j=0}^{k}a_{i}\right|={\frac {1}{k+1}}\left|{\frac {k+1}{r+1}}\sum _{i=0}^{r}a_{i}-\sum _{j=0}^{k}a_{j}\right|=\\&{\frac {1}{k+1}}\left|\sum _{j=0}^{k}\left({\frac {1}{r+1}}\sum _{i=0}^{r}a_{i}-a_{j}\right)\right|={\frac {1}{k+1}}{\frac {1}{r+1}}\left|\sum _{j=0}^{k}\sum _{i=0}^{r}\left(a_{i}-a_{j}\right)\right|\\&\leqslant {\frac {1}{k+1}}{\frac {1}{r+1}}\sum _{i=0}^{k}\sum _{i=0}^{r}\left|a_{j}-a_{i}\right|.\end{aligned}}}$

Але для всіх доданків ${\displaystyle \left|a_{j}-a_{i}\right|\leqslant \lambda }$ і цей вираз є рівний нулю для i = j. Таких доданків є r + 1, відповідно ненульових (k + 1)(r + 1) - (r + 1) = (r + 1)k.

Таким чином остаточно ${\displaystyle \mu \leqslant {\frac {k}{k+1}}\lambda \leqslant {\frac {m}{m+1}}\lambda .}$

Звідси ${\displaystyle \mathrm {Bd} K\leqslant 2\mu \leqslant {\frac {m}{m+1}}\lambda .}$ Повторюючи ці міркування можна одержати нерівність ${\displaystyle \mathrm {Bd} ^{n}K\leqslant 2\mu \leqslant \left({\frac {m}{m+1}}\right)^{n}\lambda .}$ Зокрема для довільного ${\displaystyle \varepsilon >0}$ існує таке ${\displaystyle n_{0}}$, що для всіх ${\displaystyle n\geqslant n_{0}}$ виконується нерівність ${\displaystyle \mathrm {Bd} ^{n}K<\varepsilon .}$

Множини ${\displaystyle g^{-1}({\text{st}}(b))}$ для точок ${\displaystyle b\in L}$ утворюють відкрите покриття ${\displaystyle |K|.}$ Оскільки ${\displaystyle |K|}$ є компактним простором, то згідно леми Лебега існує додатне число ${\displaystyle \delta }$ таке, що кожна множина діаметром менша ${\displaystyle \delta }$ міститься в якійсь із множин ${\displaystyle g^{-1}({\text{st}}(b))}$. Із попереднього існує таке ${\displaystyle n_{0}}$, що для всіх ${\displaystyle n\geqslant n_{0}}$ виконується нерівність ${\displaystyle \mathrm {Bd} ^{n}K<\delta .}$ Звідси для кожної вершини ${\displaystyle a\in \mathrm {Bd} ^{n}K}$ існує вершина ${\displaystyle b\in L}$ така, що ${\displaystyle g({\text{st}}(a))\subset {\text{st}}(b).}$

Згідно із властивістю симпліційних наближень у статті Симпліційне відображення, якщо взяти ${\displaystyle f(a)=b}$ і лінійно продовжити на симплексах, то f буде симпліційним відображенням і симпліційним наближенням до g. Воно і буде симпліційним наближенням із твердження теореми.

Див. також

• Лема Лебега
• Симпліційне відображення
• Симпліційний комплекс

Література

• Maunder, Charles Richard Francis (1980), Algebraic topology, Cambridge University Press, ISBN 9780521231619
• Munkres, James R. (1995). Elements of Algebraic Topology. Westview Press. ISBN 978-0-201-62728-2.
• Isadore Singer and John A. Thorpe, Lecture Notes on Elementary Geometry and Topology, Springer-Verlag (1967) ISBN 0-387-90202-3