Факторіон

Факторіон — натуральне число, яке дорівнює сумі факторіалів своїх цифр.

Повний список факторіонів

• ${\displaystyle 1=1!}$
• ${\displaystyle 2=2!}$
• ${\displaystyle 145=1!+4!+5!}$
• ${\displaystyle 40585=4!+0!+5!+8!+5!}$

Верхня межа

Визначивши верхню межу для факторіонів, нескладно (наприклад, повним перебором) показати, що існує рівно 4 таких числа.

Будь-яке n-значне число не менше від${\displaystyle \;10^{n-1}}$. Однак при цьому сума факторіалів його цифр не більша від ${\displaystyle 9!\cdot n}$, де ${\displaystyle \;9!=362880}$. Оскільки перше число зростає швидше, ніж друге (перше залежить від n експоненціально, а друге — лінійно), а вже ${\displaystyle 10^{8-1}=10000000>9!\cdot 8=2903040}$. Отже всі факторіони складаються не більше, ніж з 7 цифр. Навіть точніше — вони менші від ${\displaystyle 7\cdot 9!=2540160}$.

Аналогічні міркування допомагають довести скінченність числа багатьох узагальнених факторіонів (див. нижче).

Узагальнення

В інших системах числення

Таблиця факторіонів у системах числення до шістнадцяткової:

Основа	Максимальна кількість цифр	Факторіони
2	2	1, 10
3	2	1, 2
4	3	1, 2, 13
5	3	1, 2, 144
6	4	1, 2, 41, 42
7	5	1, 2
8	5	1, 2
9	6	1, 2, 62558
10	7	1, 2, 145, 40585
11	8	1, 2, 24, 44, 28453
12	8	1, 2
13	9	1, 2, 83790C5B
14	10	1, 2, 8B0DD409C
15	11	1, 2, 661, 662
16	11	1, 2, 260F3B66BF9

k-факторіони

k-факторіон — число, що дорівнює сумі факторіалів своїх цифр, помноженій на k. Тоді звичайні є 1-факторіонами.

Повні списки k-факторіонів:

1. k = 2: 817926
2. k = 3: 138267, 1103790
3. k = 4: 12, 32, 104, 23076
4. k = 5: 10

Узагальнення Піковера

В своїй книзі «Keys to Infinity» Кліфорд Піковер (англ. Clifford A. Pickover) (1995) запропонував такі узагальнення:

1. Факторіон першого роду — дорівнює добутку факторіалів своїх цифр.
2. Факторіон другого роду — при додаванні факторіалів число можна розбивати не тільки на цифри, а й на підчисла.

Обидва визначення породжують значно більші числа, ніж звичайне визначення. Хоча факторіони першого роду в десятковій системі тільки вироджені — 1 і 2, знайдено кілька факторіонів другого роду (жирним виділені єдині угруповання цифр):

• 2 432 902 008 177 819 519
• 51 090 942 171 710 544 079 і 51 090 942 171 710 982 398
• 403 291 461 126 605 635 584 809 043 і 403 291 461 126 605 635 584 814 796

Для узагальнень обох типів невідомо, чи скінченне число відповідних факторіонів.

Література

• Gardner, M. «Factorial Oddities.» Ch. 4 in Mathematical Magic Show: More Puzzles, Games, Diversions, Illusions and Other Mathematical Sleight-of-Mind from Scientific American. New York: Vintage, pp. 61 and 64, 1978.
• Madachy, J. S. Madachy's Mathematical Recreations. New York: Dover, p. 167, 1979.
• Pickover, C. A. «The Loneliness of the Factorions.» Ch. 22 in Keys to Infinity. New York: W. H. Freeman, pp. 169–171 and 319—320, 1995.
• С. Л. Василенко. Числовые совпадения. — 2012.

Посилання

• Weisstein, Eric W. Факторион(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.
• послідовність A014080 з Онлайн енциклопедії послідовностей цілих чисел, OEIS