Часткова геометрія

Нехай є структура інцидентності ${\displaystyle C=(P,L,I)}$, що складається з точок ${\displaystyle P}$, прямих ${\displaystyle L}$ і прапорів ${\displaystyle I\subseteq P\times L}$. Кажуть, що точка ${\displaystyle p}$ інцидентна прямий ${\displaystyle l}$, якщо ${\displaystyle (p,l)\in I}$. Структура називається скінченною частковою геометрією, якщо існують цілі числа ${\displaystyle s,t,\alpha \geq 1}$, такі, що:

• Для будь-якої пари різних точок ${\displaystyle p}$ і ${\displaystyle q}$ існує максимум одна пряма, яка відповідає обом точкам.
• Кожна пряма інцидентна ${\displaystyle s+1}$ точці.
• Кожна точка інцидентна ${\displaystyle t+1}$ прямій.
• Якщо точка ${\displaystyle p}$ і пряма ${\displaystyle l}$ не інцидентні, існує рівно ${\displaystyle \alpha }$ пар ${\displaystyle (q,m)\in I}$, таких, що ${\displaystyle p}$ інцидентна ${\displaystyle m}$, а ${\displaystyle q}$ інцидентна ${\displaystyle l}$.

Часткова геометрія з цими параметрами позначається ${\displaystyle pg(s,t,\alpha )}$.

Властивості

• Число точок задається формулою ${\displaystyle {\frac {(s+1)(st+\alpha )}{\alpha }}}$, а число прямих — формулою ${\displaystyle {\frac {(t+1)(st+\alpha )}{\alpha }}}$.
• Точковий граф^[1] структури ${\displaystyle pg(s,t,\alpha )}$ є сильно регулярним графом: ${\displaystyle srg((s+1){\frac {(st+\alpha )}{\alpha }},s(t+1),s-1+t(\alpha -1),\alpha (t+1))}$.
• Часткові геометрії двоїсті — двоїстою структурою для ${\displaystyle pg(s,t,\alpha )}$ є структура ${\displaystyle pg(t,s,\alpha )}$.

Окремі випадки

• Узагальнені чотирикутники — це точно часткові геометрії ${\displaystyle pg(s,t,\alpha )}$ з ${\displaystyle \alpha =1}$.
• Системи Штейнера — це точно часткові геометрії ${\displaystyle pg(s,t,\alpha )}$ з ${\displaystyle \alpha =s+1}$.

Узагальнення

Частково лінійний простір^[en] ${\displaystyle S=(P,L,I)}$ порядку ${\displaystyle s,t}$ називають напівчастковою геометрією, якщо існують цілі числа ${\displaystyle \alpha \geq 1,\mu }$, такі, що:

• Якщо точка ${\displaystyle p}$ і пряма ${\displaystyle \ell }$ не інцидентні, існує або ${\displaystyle 0}$, або рівно ${\displaystyle \alpha }$ пар ${\displaystyle (q,m)\in I}$, таких, що ${\displaystyle p}$ інцидентна ${\displaystyle m}$ і ${\displaystyle q}$ інцидентна ${\displaystyle \ell }$.
• Будь-яка пара неколінеарних точок має рівно ${\displaystyle \mu }$ спільних сусідів.

Напівчасткова геометрія є частковою геометрією тоді і тільки тоді, коли ${\displaystyle \mu =\alpha (t+1)}$.

Легко показати, що граф колінеарності^[1] такої геометрії строго регулярний з параметрами ${\displaystyle (1+s(t+1)+s(t+1)t(s-\alpha +1)/\mu ,s(t+1),s-1+t(\alpha -1),\mu )}$.

Хороший приклад такої геометрії виходить, якщо взяти афінні точки ${\displaystyle PG(3,q^{2})}$ і тільки ті прямі, які перетинають площину на нескінченності в точці фіксованої підплощини Бера. Геометрія має параметри ${\displaystyle (s,t,\alpha ,\mu )=(q^{2}-1,q^{2}+q,q,q(q+1))}$.

Примітки

1. Якщо дано часткову геометрію P, в якій будь-які дві точки визначають максимум одну пряму, графом колінеарності або точковим графом геометрії P називають граф, вершинами якого є точки P, а дві вершини з'єднано ребром тоді й лише тоді, коли вони визначають пряму в P.

Література

• Brouwer A.E., van Lint J.H. Strongly regular graphs and partial geometries // Enumeration and Design / Jackson D.M., Vanstone S.A. — Toronto : Academic Press, 1984. — С. 85–122.
• Bose R. C. Strongly regular graphs, partial geometries and partially balanced designs // Pacific J. Math. — 1963. — Т. 13 (22 лютого). — С. 389–419. Архівовано з джерела 22 червня 2019. Процитовано 29 липня 2021.
• De Clerck F., Van Maldeghem H. Some classes of rank 2 geometries // Handbook of Incidence Geometry. — Amsterdam : North-Holland, 1995. — С. 433–475.
• Thas J.A. Partial Geometries // Handbook of Combinatorial Designs / Colbourn Charles J., Dinitz Jeffrey H. — 2nd. — Boca Raton : Chapman & Hall/ CRC, 2007. — С. 557–561. — ISBN 1-58488-506-8.
• Debroey I., Thas J. A. On semipartial geometries // Journal of Combinatorial Theory Ser. A. — 1978. — Т. 25 (22 лютого). — С. 242–250.