Число Евкліда

У математиці числа Евкліда — це ціле у вигляді E_n = p_n# + 1, де p_n# є n-им прайморіалом, тобто добутком перших n простих чисел. Вони названі на честь давньогрецького математика Евкліда у зв'язку з теоремою Евкліда про те, що простих чисел нескінченно багато.

Приклади

Наприклад, перші три прості числа — це 2, 3, 5; їх добуток дорівнює 30, а відповідне число Евкліда дорівнює 31.

Кілька перших чисел Евкліда: 3, 7, 31, 211, 2311, 30031, 510511, 9699691, 223092871, 6469693231, 200560490131, …

послідовність A006862 з Онлайн енциклопедії послідовностей цілих чисел, OEIS.

Історія

Іноді хибно стверджують, що відоме доведення Евкліда нескінченності кількості простих чисел спирається на ці числа.^[1] Евклід почав не з припущення, що множина всіх простих чисел скінченна. Скоріше, він сказав: розглянемо будь-який скінченний набір простих чисел (він не припускав, що він містить лише перші n простих чисел, наприклад, це могло бути {3, 41, 53}) і прийшов звідти до висновку, що існує принаймні одне просте, яке не входить до цієї множини.^[2] Тим не менш, аргумент Евкліда, застосований до множини перших n простих чисел, показує, що n-е число Евкліда має простий множник, якого немає в цьому наборі.

Властивості

Не всі числа Евкліда прості. E₆ = 13# + 1 = 30031 = 59 × 509 — перше складене число Евкліда. Кожне число Евкліда конгруентне 3 по модулю 4, оскільки початкове число, з якого воно складається, вдвічі перевищує добуток лише непарних простих чисел і, таким чином, конгруентне 2 за модулем 4. Ця властивість означає, що жодне число Евкліда не може бути квадратом.

Для всіх n ≥ 3 остання цифра E_n дорівнює 1, оскільки E_n − 1 ділиться на 2 і 5. Іншими словами, оскільки всі початкові числа, більші за E₂, мають 2 і 5 як прості множники, вони діляться на 10, тому всі E_n ≥ 3+1 мають останню цифру 1.

Невирішені проблеми

Невідомо, чи існує нескінченна кількість простих чисел Евкліда (прайморіальних простих чисел).^[3]

Нерозв'язана проблема математики: Чи існує нескінченна кількість простих чисел Евкліда? (більше нерозв'язаних проблем математики)

Також невідомо, чи кожне число Евкліда є вільним від квадратів числом.^[4]

Нерозв'язана проблема математики: Чи кожне число Евкліда вільне від квадратів? (більше нерозв'язаних проблем математики)

Узагальнення

Число Евкліда другого роду (також зване число Куммера) є цілим числом виду E_n = p_n# − 1, де p_n# є n-им прайморіалом. Перші кілька таких чисел:

1, 5, 29, 209, 2309, 30029, 510509, 9699689, 223092869, 6469693229, 200560490129, … послідовність A057588 з Онлайн енциклопедії послідовностей цілих чисел, OEIS

Як і у випадку з числами Евкліда, невідомо, чи існує нескінченно багато простих чисел Куммера. Перше з цих чисел, яке є складеним, це 209.^[5]

Див. також

• Послідовність Евкліда – Мулліна^[en]
• Прайморіальне просте число

Примітки

1. Michael Hardy and Catherine Woodgold, «Prime Simplicity», Mathematical Intelligencer, volume 31, number 4, fall 2009, pages 44–52.
2. Proposition 20.
3. Слоун, Ніл (ред.). Sequence A006862 (Euclid numbers). Інтерактивна енциклопедія цілочислових послідовностей. OEIS Foundation.
4. Vardi, Ilan (1991). Computational Recreations in Mathematica. Addison-Wesley. с. 82—89. ISBN 9780201529890.
5. Слоун, Ніл (ред.). Sequence A125549 (Composite Kummer numbers). Інтерактивна енциклопедія цілочислових послідовностей. OEIS Foundation.