Число торта

У математиці число торта, позначуване C_n, — це максимальне число областей, на яку можна поділити тримірний куб кількістю n площин. Число торта називається саме так, тому що можна уявити, що площини — це розрізи, виконані ножем у торті, що має форму куба.

Значення C_n для зростаючих n ≥ 0 даються рядом 1, 2, 4, 8, 15, 26, 42, 64, 93, …^[1]

Число торта є тримірним аналогом двомірних центральних багатокутних чисел. Послідовність, утворена різницею між двома послідовно розташованими числами торта, є послідовністю центральних багатокутних чисел.

Загальна формула

Якщо n! позначає факторіал, і ми позначимо біномінальні коефіцієнти як

${\displaystyle {n \choose k}={\frac {n!}{k!\,(n-k)!}},}$

приймаючи, що n площин ділять куб, то число торта таке:^[2]

${\displaystyle C_{n}={n \choose 3}+{n \choose 2}+{n \choose 1}+{n \choose 0}={\frac {1}{6}}(n^{3}+5n+6).}$

Примітки

1. Он-лайн енциклопедія цілочисельних послідовностей. A000125: Числа торта. Процитовано 26 вересня 2011.(англ.)
2. Ерик Вайсштайн. Поділ простору площинами. Wolfram MathWorld: Найбільший математичний ресурс у веб. Процитовано 26 вересня 2011.(англ.)