Bất đẳng thức Hermite–Hadamard

Trong toán học, bất đẳng thức Hermite–Hadamard, được đặt theo tên của Charles Hermite và Jacques Hadamard, phát biểu rằng nếu hàm ƒ : [a, b] → R là hàm lồi thì

${\displaystyle f\left({\frac {a+b}{2}}\right)\leq {\frac {1}{b-a}}\int _{a}^{b}f(x)\,dx\leq {\frac {f(a)+f(b)}{2}}.}$

Bất đẳng thức này được khái quát hóa cho không gian nhiều chiều: nếu tập xác định ${\displaystyle \Omega \subset \mathbb {R} ^{n}}$ là tập lồi, đóng và ${\displaystyle f:\Omega \rightarrow \mathbb {R} }$ là hàm lồi dương, thì

${\displaystyle {\frac {1}{|\Omega |}}\int _{\Omega }f(x)\,dx\leq {\frac {c_{n}}{|\partial \Omega |}}\int _{\partial \Omega }f(y)\,d\sigma (y)}$

với ${\displaystyle c_{n}}$ là một hằng số chỉ phụ thuộc vào số chiều của không gian.

Tham khảo

• Jacques Hadamard, "Étude sur les propriétés des fonctions entières et en particulier d'une fonction considérée par Riemann", Journal de Mathématiques Pures et Appliquées, tập 58, 1893, trang 171–215.
• Zoltán Retkes, "An extension of the Hermite–Hadamard Inequality", Acta Sci. Math. (Szeged), 74 (2008), trang 95–106.
• Mihály Bessenyei, "The Hermite–Hadamard Inequality on Simplices", American Mathematical Monthly, tập 115, tháng 4 năm 2008, trang 339–345. JSTOR 27642476
• Flavia-Corina Mitroi, Eleutherius Symeonidis, "The converse of the Hermite-Hadamard inequality on simplices", Expo. Math. 30 (2012), tr. 389–396. doi:10.1016/j.exmath.2012.08.011; ISSN 0723-0869
• Stefan Steinerberger, "The Hermite-Hadamard Inequality in Higher Dimensions", The Journal of Geometric Analysis, tập 30, tháng 1 năm 2020, trang 466–483. doi:10.1007/s12220-019-00150-1