Bất đẳng thức Shapiro

Trong toán học, bất đẳng thức Shapiro là một bất đẳng thức do H. Shapiro đặt ra vào năm 1954.

Phát biểu

Giả sử ${\displaystyle n}$ là một số tự nhiên và ${\displaystyle x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}}$ là các số dương và:

• ${\displaystyle n}$ chẵn và nhỏ hơn hoặc bằng ${\displaystyle 12}$, hoặc
• ${\displaystyle n}$ là lẻ và nhỏ hơn hoặc bằng ${\displaystyle 23}$.

Theo bất đẳng thức Shapiro:

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}{\frac {x_{i}}{x_{i+1}+x_{i+2}}}\geq {\frac {n}{2}}}$

trong đó ${\displaystyle x_{n+1}=x_{1},x_{n+2}=x_{2}}$.

Các giá trị ${\displaystyle n}$ lớn hơn đều không thỏa mãn bất đẳng thức.

Tham khảo

• Fink, A.M. (1998). “Shapiro's inequality”. Trong Gradimir V. Milovanović, G. V. (biên tập). Recent progress in inequalities. Dedicated to Prof. Dragoslav S. Mitrinović. Mathematics and its Applications (Dordrecht). 430. Dordrecht: Kluwer Academic Publishers. tr. 241–248. ISBN 0-7923-4845-1. Zbl 0895.26001.
• Bushell, P.J.; McLeod, J.B. (2002). “Shapiro's cyclic inequality for even n” (PDF). J. Inequal. Appl. 7: 331–348. ISSN 1029-242X. Zbl 1018.26010. They give an analytic proof of the formula for even ${\displaystyle n\leq 12}$, from which the result for all ${\displaystyle n\leq 12}$ follows. They state ${\displaystyle n=23}$ as an open problem.

Liên kết ngoài

• Usenet discussion in 1999 (Dave Rusin's notes)
• PlanetMath Lưu trữ 2005-03-09 tại Wayback Machine