Hàm lồi chính thường

Trong giải tích toán học (đặc biệt là giải tích lồi) và tối ưu hóa, hàm lồi chính thường (proper convex function) là một hàm ${\displaystyle f}$ lấy giá trị trong trục số thực mở rộng sao cho

${\displaystyle f(x)<+\infty }$

tại ít nhất một giá trị ${\displaystyle x}$ và

${\displaystyle f(x)>-\infty }$

với mọi ${\displaystyle x}$. Điều đó có nghĩa là, một hàm lồi là chính thường nếu nó có miền hữu hiệu khác rỗng và không bao giờ đạt giá trị ${\displaystyle -\infty }$.^[1][2] Hàm lồi không có tính chính thường được gọi là hàm lồi phi chính thường (improper convex function).^[3]

Hàm lõm chính thường là một hàm ${\displaystyle g}$ sao cho ${\displaystyle f=-g}$ là hàm lồi chính thường.

Tính chất

Với mọi hàm lồi chính thường ${\displaystyle f}$ trên ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$, thì tồn tại ${\displaystyle b}$ thuộc ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ và ${\displaystyle \beta }$ thuộc ${\displaystyle \mathbb {R} }$ sao cho

${\displaystyle f(x)\geq x\cdot b-\beta }$

với mọi ${\displaystyle x}$.

Tổng của hai hàm lồi chính thường là một hàm lồi, nhưng có thể không phải là một hàm chính thường.^[2][4] Ví dụ, với hai tập lồi khác rỗng ${\displaystyle A\subset X}$ và ${\displaystyle B\subset X}$ trong không gian vectơ ${\displaystyle X}$, hai hàm chỉ thị ${\displaystyle I_{A}}$ và ${\displaystyle I_{B}}$ đều là hàm lồi chính thường, nhưng nếu ${\displaystyle A\cap B=\emptyset }$ thì ${\displaystyle I_{A}+I_{B}}$ luôn bằng ${\displaystyle +\infty }$.

Tổng chập infimal của hai hàm lồi chính thường là một hàm lồi nhưng chưa hẳn là một hàm chính thường.^[2][5]

Tham khảo

1. Aliprantis, C.D.; Border, K.C. (2007). Infinite Dimensional Analysis: A Hitchhiker's Guide (ấn bản thứ 3). Springer. tr. 254. doi:10.1007/3-540-29587-9. ISBN 978-3-540-32696-0.
2. ^ Đỗ Văn Lưu; Phan Huy Khải (2000). Giải tích lồi. Hà Nội: Nhà xuất bản Khoa học và Kỹ thuật. tr. 38, 47–49.
3. Rockafellar, R. Tyrrell (1997) [1970]. Convex Analysis. Princeton, NJ: Princeton University Press. tr. 24. ISBN 978-0-691-01586-6.
4. Boyd, Stephen (2004). Convex Optimization. Cambridge, UK: Cambridge University Press. tr. 79. ISBN 978-0-521-83378-3.
5. Ioffe, Aleksandr Davidovich; Tikhomirov, Vladimir Mikhaĭlovich (2009), Theory of extremal problems, Studies in Mathematics and its Applications, 6, North-Holland, tr. 168, ISBN 9780080875279.