非整數進制

非整數進制者，基數不以整數也。

整數進制

夫二進制，三進制，六進制，十進制爾爾，整數進制也。即滿${\displaystyle \mathrm {K} }$進1，且有

${\displaystyle \mathrm {(K-1)} \in \mathrm {N^{*}} }$（${\displaystyle \mathrm {N^{*}} }$者，正整數也，亦作${\displaystyle \mathrm {N_{+}} }$）

若十進制之18.25

${\displaystyle 18.25=1\cdot 10^{1}+8\cdot 10^{0}+2\cdot 10^{-1}+5\cdot 10^{-2}}$

${\displaystyle 30.13_{(6)}=3\cdot 6^{1}+0\cdot 6^{0}+1\cdot 6^{-1}+3\cdot 6^{-2}}$

${\displaystyle 102.1_{(4)}=1\cdot 4^{2}+0\cdot 4^{1}+2\cdot 4^{0}+1\cdot 4^{-1}}$

且有理數（分數）可做有窮小數，亦都可做循環小數，若${\displaystyle 1=0.{\dot {1}}_{(2)}=0.{\dot {5}}_{(6)}=0.{\dot {9}}_{(10)}}$，無理數者皆無窮而不循環也。

非整數進制

非整數進制者，從下規

基數${\displaystyle \mathrm {r} }$,${\displaystyle \mathrm {r} \in (1,+\infty ),\mathrm {r} \not \in \mathrm {N^{*}} }$，例如下

${\displaystyle 1.5}$進制

1.5進制者，1.5之次幂依次相加也，以其${\displaystyle 1.5\in (1,2)}$,故僅用${\displaystyle 0,1}$二數

${\displaystyle 1=1_{(1.5)}=0.101\,000\,001\,001\dots \dots _{(1.5)}=1.5^{-1}+1.5^{-3}+1.5^{-9}+1.5^{-12}+\dots \dots }$

若上文之${\displaystyle 1=0.{\dot {9}}=0.9999\dots \dots }$

${\displaystyle {\sqrt {2}}}$進制

無理數亦可做底數，如${\displaystyle {\sqrt {2}}}$進制，且一位二進制可拆做二位${\displaystyle {\sqrt {2}}}$進制，例

${\displaystyle 2=10_{(2)}=100_{({\sqrt {2}})}=({\sqrt {2}})^{2}}$

${\displaystyle 11_{(2)}=101_{({\sqrt {2}})}=({\sqrt {2}})^{2}+({\sqrt {2}})^{0}}$

${\displaystyle {\sqrt {8}}=2{\sqrt {2}}=10_{(2)}{\sqrt {2}}=100_{({\sqrt {2}})}\cdot 10_{({\sqrt {2}})}=1000_{({\sqrt {2}})}}$

${\displaystyle 1=0.{\dot {1}}_{(2)}=0.{\dot {0}}{\dot {1}}_{({\sqrt {2}})}}$

φ進制

亦名黃金進制（Golden ratio base），且φ=${\displaystyle {\frac {{\sqrt {5}}+1}{2}}}$,黃金數也，亦名中外比。且有11（(φ)）=100（(φ)）,以其φ²=1+φ

十進制	幂之于φ	φ進制（（baseφ)）
1	φ^0	1（(φ)）
2	φ^1+φ^-2	10.01（(φ)）
3	φ^2+φ^-2	100.01（(φ)）
4	φ^2+φ^0+φ^-2	101.01（(φ)）
5	φ^3+φ^-1+φ^-4	1000.1001（(φ)）
6	φ^3+φ^1+φ^-4	1010.0001（(φ)）
7	φ^4+φ^-4	10000.0001（(φ)）
8	φ^4+φ^0+φ^-4	10001.0001（(φ)）

${\displaystyle {\frac {1}{2}}=0.{\dot {0}}1{\dot {0}}_{(\varphi )}}$,${\displaystyle {\sqrt {5}}=10.1_{(\varphi )}}$

${\displaystyle \mathrm {e} }$進制

以${\displaystyle \mathrm {e} }$爲底之進制，且e=2.7182818284......也，是以自然也，且用${\displaystyle 0,1,2}$三數，如下

${\displaystyle 1_{(\mathrm {e} )}=\mathrm {e} ^{0},10_{(\mathrm {e} )}=\mathrm {e} ^{1},100_{(\mathrm {e} )}=\mathrm {e} ^{2},\mathrm {etc} }$

實數	級數展開	e進制（截尾法至十二位）
1	2×e^-1+1×e^-2+2×e^-3+1×e^-4+......	1（(e)）亦0.212111 121200（(e)）
2	1×e^0+2×e^-1+1×e^-2+2×e^-3+......	2（(e)）亦1.212111 121200（(e)）
3	1×e^1+0×e^0+0×e^-1+2×e^-2+......	10.020011 200001（(e)）
4	1×e^1+1×e^0+0×e^-1+2×e^-2+......	11.020011 200001（(e)）
5	1×e^1+2×e^0+0×e^-1+2×e^-2+......	12.020011 200001（(e)）
6	2×e^1+0×e^0+1×e^-1+1×e^-2+......	20.111011 102102（(e)）
7	2×e^1+1×e^0+1×e^-1+1×e^-2+......	21.111011 102102（(e)）
8	1×e^2+0×e^1+0×e^0+1×e^-1+......	100.112010 111100（(e)）
9	1×e^2+0×e^1+1×e^0+1×e^-1+......	101.112010 111100（(e)）
36	1×e^3+2×e^2+0×e^1+1×e^0+......	1201.010000 100202（(e)）
π	1×e^1+0×e^0+1×e^-1+0×e^-2+......	10.101002 020002（(e)）