全循環質數

喺數論中，全循環質數^{[1] :166}，又叫長質數，係指一個質數p，令分數1/p嘅循環節長度比質數少1，更精確地講，全循環質數係指一個質數p，喺一個已知底數為b嘅進位制下，喺下面算式中可以得出一個循環數嘅質數：

${\displaystyle {\frac {b^{p-1}-1}{p}}}$

若果p係11，b係2，所得嘅數字0001011101係循環數

0001011101 × 1 = 0001011101

0001011101 × 2 = 0010111010

0001011101 × 3 = 0100010111

0001011101 × 4 = 0101110100

0001011101 × 5 = 0111010001

0001011101 × 6 = 1000101110

0001011101 × 7 = 1010001011

0001011101 × 8 = 1011101000

0001011101 × 9 = 1101000101

0001011101 × 10 = 1110100010

而${\displaystyle {1 \over 1011}=0.{\overline {0001011101}}}$，循環節長度係10，比11少1，因此11係二進位嘅全循環質數。

十進位中嘅全循環質數有：

7, 17, 19, 23, 29, 47, 59, 61, 97, 109, 113, 131, 149, 167, 179, 181, 193, 223, 229 , 233, 257, 263, 269, 313, 337, 367, 379, 383, 389, 419, 433, 461, 487, 491, 499, 503, 509, 541, 571, 577, 593,... （OEIS數列A001913）

參考

1. Dickson, Leonard E., 1952, History of the Theory of Numbers, Volume 1, Chelsea Public. Co.

1. Conway, J. H. and Guy, R. K. The Book of Numbers. New York: Springer-Verlag, 1996.
2. Francis, Richard L.; "Mathematical Haystacks: Another Look at Repunit Numbers"; in The College Mathematics Journal, Vol. 19, No. 3. (May, 1988), pp. 240–246.

睇埋

• 循環小數
• 循環數

出面網頁

• Weisstein, Eric W., "Artin's Constant" - MathWorld.（英文）
• Weisstein, Eric W., "Full Reptend Prime" - MathWorld.（英文）