節儉數

節儉數（frugal number）是指一正整數質因數分解（包括指數）的總位數小於整數本身的位數^[1]。 以十進制的125為例，質因數分解為5³，只有二位數，小於其本身位數的三位數，因此125為節儉數。其他進制下也有節儉數，例如32為二進制下的節儉數，因為10¹⁰¹ = 100000。

大多數的節儉數都是素數的冪，在十進制下，第一個不是素數的冪的節儉數是1029=3x7³

前幾個節儉數為：

125, 128, 243, 256, 343, 512, 625, 729, 1024, 1029, 1215, 1250, 1280, 1331, 1369, 1458, 1536, 1681, 1701, 1715, 1792, 1849, 1875（OEIS數列A046759）

數學定義

令${\displaystyle b>1}$為進制的數字，${\displaystyle K_{b}(n)=\lfloor \log _{b}{n}\rfloor +1}$ 為自然數${\displaystyle n}$在${\displaystyle b}$進制下的位數。自然數${\displaystyle n}$的質數分解為n

${\displaystyle n=\prod _{\stackrel {p\,\mid \,n}{p{\text{ prime}}}}p^{v_{p}(n)}}$

其中${\displaystyle v_{p}(n)}$是${\displaystyle n}$的P進賦值，則${\displaystyle n}$在${\displaystyle b}$進制下為節儉數，若

${\displaystyle K_{b}(n)>\sum _{\stackrel {p\,\mid \,n}{p{\text{ prime}}}}K_{b}(p)+\sum _{\stackrel {p^{2}\,\mid \,n}{p{\text{ prime}}}}K_{b}(v_{p}(n)).}$

相關條目

• 等數位數：質因數分解（包括指數）總位數等於整數本身位數的正整數。
• 奢侈數：質因數分解（包括指數）總位數大於整數本身位數的正整數。

參考資料

1. Darling, David J. The universal book of mathematics: from Abracadabra to Zeno's paradoxes. John Wiley & Sons. 2004: 102 [2012-12-24]. ISBN 978-0-471-27047-8. （原始内容存档于2013-12-31）. 

• R.G.E. Pinch (1998), Economical Numbers