索末菲恒等式

索末菲恒等式 是由阿诺德索末菲提出的一个数学恒等式，该恒等式用于波传播理论中，

${\displaystyle {\frac {e^{ikR}}{R}}=\int \limits _{0}^{\infty }I_{0}(\lambda r)e^{-\mu \left|z\right|}{\frac {\lambda d\lambda }{\mu }}}$

其中

${\displaystyle \mu ={\sqrt {\lambda ^{2}-k^{2}}}}$

取正实数部分，以确保积分收敛和 ${\displaystyle z\rightarrow \pm \infty }$

${\displaystyle R^{2}=r^{2}+z^{2}}$。

${\displaystyle R}$ 表示到原点的距离，同时 ${\displaystyle r}$是${\displaystyle (r,\phi ,z)}$ 柱坐标系统中到圆柱中心轴的距离。 这里贝塞尔函数的符号遵循德国惯例，与索末菲使用的原始符号一致。${\displaystyle I_{0}(z)}$第一类零阶贝塞尔函数，在英文文献中通常标记为${\displaystyle I_{0}(z)=J_{0}(iz)}$ 。 ^[1]。

索末菲恒等式可以更容易地看作是球面波特别是圆柱对称波的扩展，

${\displaystyle {\frac {e^{ik_{0}r}}{r}}=i\int \limits _{0}^{\infty }{dk_{\rho }{\frac {k_{\rho }}{k_{z}}}J_{0}(k_{\rho }\rho )e^{ik_{z}\left|z\right|}}}$

其中

${\displaystyle k_{z}=(k_{0}^{2}-k_{\rho }^{2})^{1/2}}$

^[2]. 这里使用的符号不同于上面： 这里的${\displaystyle r}$ 是圆柱坐标系中的径向距离。 其物理解释是球面波可以扩展成为${\displaystyle \rho }$方向上柱面波的总和，乘以 ${\displaystyle z}$ 方向上双面平面波，参见 Jacobi-Anger expansion（英语：Jacobi–Anger expansion）。 必须对所有波数 ${\displaystyle k_{\rho }}$求和。

索末菲恒等式与柱对称的二维 傅里叶变换密切相关，即汉克尔变换。 它是通过改变沿面坐标(${\displaystyle x}$,${\displaystyle y}$, 或 ${\displaystyle \rho }$, ${\displaystyle \phi }$)的球面波，但不改变沿高度坐标${\displaystyle z}$得到的。

参考文献

1. Sommerfeld, A.,Partial Differential Equations in Physics,Academic Press,New York,1964
2. Chew, W.C.,Waves and Fields in Inhomogeneous Media,Van Nostrand Reinhold,New York,1990