Wess-Zumino-Witten模型

理論物理與數學中， 威斯-朱米諾-維騰模型（Wess-Zumino-Novikov-Witten model，WZW），乃一簡單之 共形場論，其解可以用仿射李代數表達。其名來自朱利斯·外斯、布鲁诺·朱米诺、謝爾蓋·彼得羅維奇·諾維科夫與爱德华·威滕。

作用

設G為緊緻單連通李羣，設g為其李代數。設γ為黎曼球面${\displaystyle S^{2}}$（複平面之一點緊緻化）上一G-值場

Wess-Zumino-Witten 模型是γ所定義之非線性 sigma 模型，其作用為

${\displaystyle S_{k}(\gamma )=-\,{\frac {k}{8\pi }}\int _{S^{2}}d^{2}x\,{\mathcal {K}}(\gamma ^{-1}\partial ^{\mu }\gamma \,,\,\gamma ^{-1}\partial _{\mu }\gamma )+2\pi k\,S^{\mathrm {W} Z}(\gamma )}$；

其中首項為量子場論中常見之動量項，重覆指標相加，度量為歐幾里得度量， ${\displaystyle {\mathcal {K}}}$ 為g上之Killing 二次式，而${\displaystyle \partial _{\mu }=\partial /\partial x^{\mu }}$ 為 偏導數。

S^WZ 項人稱 Wess-Zumino 項，其定義為

${\displaystyle S^{\mathrm {W} Z}(\gamma )=-\,{\frac {1}{48\pi ^{2}}}\int _{B^{3}}d^{3}y\,\epsilon ^{ijk}{\mathcal {K}}\left(\gamma ^{-1}\,{\frac {\partial \gamma }{\partial y^{i}}}\,,\,\left[\gamma ^{-1}\,{\frac {\partial \gamma }{\partial y^{j}}}\,,\,\gamma ^{-1}\,{\frac {\partial \gamma }{\partial y^{k}}}\right]\right)}$

其中 [,] 為交換子，${\displaystyle \epsilon ^{ijk}}$ 為完全反對稱張量，i=1,2,3，${\displaystyle y^{i}}$為積分座標，取值於單位球 ${\displaystyle B^{3}}$。 在此積分中，場γ 被延拓至單位球之內部——此所以可能，是由於任何緊緻單連通李羣之第二同倫羣${\displaystyle \pi _{2}(G)}$俱為零（γ已於球面上定義）。

拉回

注意：若 ${\displaystyle e_{a}}$ 為李代數g之基向量，則${\displaystyle {\mathcal {K}}(e_{a},[e_{b},e_{c}])}$ 為g 之 結構常數。結構常數是反對稱的，因而定義了一G 上一个三次微分形式。故上述積分實為球${\displaystyle B^{3}}$上之三次調和式的拉回。記此三次式為 c、其拉回為 ${\displaystyle \gamma ^{*}}$，則我们有

${\displaystyle S^{\mathrm {W} Z}(\gamma )=\int _{B^{3}}\gamma ^{*}c}$

自此我们可用拓撲方法分析 WZ-項。

拓撲障礙

γ 有多種延拓至球${\displaystyle B^{3}K}$之內部；若要求物理現象不依賴於特定之延拓，則常數k需符合以下「量子條件」：

• 取γ 到球內部之任何兩種延拓。是為平三維區域至李羣G之兩支影射。在其邊界 ${\displaystyle S^{2}}$黏起此兩個三維球，則成一三維球面${\displaystyle S^{3}}$；其中每一三維半球面來自一${\displaystyle B^{3}}$。 γ 之兩種延拓則成為一影射： ${\displaystyle S^{3}\rightarrow G}$。然而，任何緊緻單連通李羣G之同倫羣

${\displaystyle \pi _{3}(G)=\mathbb {Z} }$ 。故

${\displaystyle S^{\mathrm {W} Z}(\gamma )=S^{\mathrm {W} Z}(\gamma ')+n}$

其中 γ 與 γ' 表示兩種延拓， n為一整數——黏合後影射之卷绕数。兩種延拓會帶來相同的物理系統，若

${\displaystyle \exp \left(i2\pi kS^{\mathrm {W} Z}(\gamma )\right)=\exp \left(i2\pi kS^{\mathrm {W} Z}(\gamma ')\right)}$

是故，耦合常數k必須為整數。當G是半單李羣，或不連通緊緻羣， 則由每一連通部所給之一整數構成此階（level）。

此拓撲障礙亦可以相應之仿射李代數之表示論體現。 當每一階為一整數，則存在該仿射李代數之酉最高權表示，而其最高權為 dominant integral。此等表示是可積表示^[1]。

我们亦常遇相應於一非緊緻單李羣－例如 SL(2,R)－之 WZW 模型。胡安·马尔达西那與Hirosi Ooguri（英语：Hirosi Ooguri）以此描述三維反德西特空間上之弦理論。此時 π₃(SL(2,R))=0，故不存在拓撲障礙，而其階亦不必為整數。

推廣

上述各 WZW 模型俱定義於黎曼球面上。我们亦可定義一般緊緻黎曼曲面上之場γ。

參見

• 陳-西蒙斯理論
• 紐結理論

參攷

• J. Wess, B. Zumino, "Consequences of anomalous Ward identities", Physics Letters B, 37 (1971) pp. 95-97.
• E. Witten, "Global aspects of current algebra", Nuclear Physics B 223 (1983) pp. 422-432.
• V. Kac, Infinite dimensional Lie algebras

註

1. Kac, Victor, Infinite dimensional Lie algebras, ISBN 0-521-46693-8 第十章，