代数连通度

一个例图，6顶点，直径3，连通度1，代数连通度0.722。

图${\displaystyle G}$的代数连通度（algebraic connectivity）是${\displaystyle G}$的拉普拉斯矩阵的第二小的特征值（重特征值要重复计算）。^[1]这个特征值大于0当且仅当${\displaystyle G}$是连通图。这是一个简单的推论，因为拉普拉斯矩阵的特征值0的重数就是图的连通分支的个数。这个值的大小反映了整个图的连通程度。它可以用于分析网络的稳定性与可同步性。

性质

图${\displaystyle G}$的代数连通度大于0当且仅当${\displaystyle G}$是连通图。而且，图的代数连通度的值不大于（顶点）连通度。^[2]设一个连通图有${\displaystyle n}$个顶点且直径为${\displaystyle D}$，则代数连通度的一个下界是${\displaystyle {\frac {1}{nD}}}$，^[3]而且根据Brendan McKay的一个结果这个下界可以改进为${\displaystyle {\frac {4}{nD}}}$。^[4]对于上图中的例子，${\displaystyle 4/18=0.222\leq 0.722\leq 1}$。

不像传统的连通度，代数连通度除了与顶点的连接方式有关以外，还与顶点的个数有关。对随机图，代数连通度随顶点数增大而减小，随平均度的增大而增大。^[5]

代数连通度的具体定义依赖于所使用的拉普拉斯矩阵的类型。金芳蓉使用一种重新标度的拉普拉斯矩阵，消除了对顶点数的依赖，所以上下界有所不同。^[6]

拉普拉斯矩阵自然地出现在网络上的同步模型中，例如藏本模型，因而代数连通度标志了网络达到同步的容易程度。^[7]也可以使用其他度量，例如平均距离（特征路径长度），^[8]实际上代数连通度与平均距离（的倒数）密切相关。^[4]

• 
  截角二十面体，也是巴克明斯特富勒烯的结构图，连通度为3，而代数连通度为0.243。

Fiedler向量

代数连通度的相关理论最早由Miroslav Fiedler提出。^[9][10]为了纪念他，与代数连通度对应的特征向量命名为Fiedler向量。Fieldler向量可用于图的划分。

用Fiedler向量对图进行划分

以首段中的图为例，Fiedler向量为(0.415, 0.309, 0.069, -0.221, 0.221, -0.794)。负值对应连通程度很差的点6，及其相邻的节点4；而正值对应其他顶点。因此可以根据Fiedler向量中的符号把图分成两部分：{1, 2, 3, 5}与{4, 6}。另外，值0.069非常接近0，可以单独成为一类，这样就把图分成三部分：{1, 2, 5}, {3}, {4, 6}。

另见

• 连通图

参考资料

1. Weisstein, Eric W. "Algebraic Connectivity." From MathWorld--A Wolfram Web Resource.
2. J.L. Gross and J. Yellen. Handbook of Graph Theory, CRC Press, 2004, page 314.
3. J.L. Gross and J. Yellen. Handbook of Graph Theory, CRC Press, 2004, page 571.
4. Bojan Mohar, The Laplacian Spectrum of Graphs, in Graph Theory, Combinatorics, and Applications, Vol. 2, Ed. Y. Alavi, G. Chartrand, O. R. Oellermann, A. J. Schwenk, Wiley, 1991, pp. 871–898.
5. Synchronization and Connectivity of Discrete Complex Systems, Michael Holroyd, International Conference on Complex Systems, 2006.
6. F. Chung. Spectral Graph Theory, Providence, RI: Amer. Math. Soc., 1997.[1]
7. Tiago Pereira, Stability of Synchronized Motion in Complex Networks, arXiv:1112.2297v1, 2011.
8. D. Watts, Six Degrees: The Science of a Connected Age, Vintage, 2003.
9. M. Fiedler. "Algebraic connectivity of Graphs", Czechoslovak Mathematical Journal 23(98) (1973), 298–305.
10. M. Fiedler. "Laplacian of graphs and algebraic connectivity", Combinatorics and Graph Theory (Warsaw, 1987), Banach Center Publications 25(1) (1989), 57–70.