博赫纳积分

在数学中，以萨洛蒙·博赫纳命名的博赫纳积分（英語：Bochner integral）作为简单函数积分的极限，将勒贝格积分的定义推广到在巴拿赫空间中取值的函数。

定义

令(X, Σ, μ)为测度空间，B为巴拿赫空间。博赫纳积分以与勒贝格积分相同的方式定义。首先，简单函数是任意如下形式的有限和

${\displaystyle s(x)=\sum _{i=1}^{n}\chi _{E_{i}}(x)b_{i}}$

其中E是_iσ-代数Σ的不相交元素，b_i是B的不同元素，而χ_E是E的指示函数。如果μ(E_i)每当b_i ≠ 0时有限，则简单函数是可积的，积分如下定义

${\displaystyle \int _{X}\left[\sum _{i=1}^{n}\chi _{E_{i}}(x)b_{i}\right]\,d\mu =\sum _{i=1}^{n}\mu (E_{i})b_{i}}$

与普通勒贝格积分完全相同。

可测量函数ƒ:X→B是博赫纳可积的，如果存在一列可积的简单函数s_n满足

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\int _{X}\|f-s_{n}\|_{B}\,d\mu =0}$，

其中左边的积分是普通勒贝格积分。

在这种情形下，博赫纳积分定义为

${\displaystyle \int _{X}f\,d\mu =\lim _{n\to \infty }\int _{X}s_{n}\,d\mu }$。

可以证明，函数是博赫纳可积的当且仅当它位于博赫纳空间 ${\displaystyle L^{1}}$。

参见

• 博赫纳空间（英语：Bochner space）
• 佩蒂斯积分（英语：Pettis integral）
• 向量测度

参考文献

• Bochner, Salomon, Integration von Funktionen, deren Werte die Elemente eines Vektorraumes sind (PDF), Fundamenta Mathematicae, 1933, 20: 262–276 [2017-02-17], （原始内容存档 (PDF)于2018-07-21） 
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• Yosida, Kôsaku, Functional Analysis, Springer, 1980 [2017-02-17], ISBN 978-3-540-58654-8, （原始内容存档于2020-08-08） 
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• Sobolev, V. I., Bochner integral, Hazewinkel, Michiel (编), 数学百科全书, Springer, 2001, ISBN 978-1-55608-010-4 
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