卜瓦松二項分布

卜瓦松二項分布
Poisson binomial

参数	${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$（試驗數） ${\displaystyle \mathbf {p} \in [0,1]^{n}}$（各試驗的成功概率）
值域	k ∈ { 0, …, n }
概率质量函数	${\displaystyle \sum \limits _{A\in F_{k}}\prod \limits _{i\in A}p_{i}\prod \limits _{j\in A^{c}}(1-p_{j})}$
累積分布函數	${\displaystyle \sum \limits _{l=0}^{k}\sum \limits _{A\in F_{l}}\prod \limits _{i\in A}p_{i}\prod \limits _{j\in A^{c}}(1-p_{j})}$
期望值	${\displaystyle \sum \limits _{i=1}^{n}p_{i}}$
方差	${\displaystyle \sigma ^{2}=\sum \limits _{i=1}^{n}(1-p_{i})p_{i}}$
偏度	${\displaystyle {\frac {1}{\sigma ^{3}}}\sum \limits _{i=1}^{n}(1-2p_{i})(1-p_{i})p_{i}}$
峰度	${\displaystyle {\frac {1}{\sigma ^{4}}}\sum \limits _{i=1}^{n}(1-6(1-p_{i})p_{i})(1-p_{i})p_{i}}$
矩生成函数	${\displaystyle \prod \limits _{j=1}^{n}(1-p_{j}+p_{j}e^{t})}$
特徵函数	${\displaystyle \prod \limits _{j=1}^{n}(1-p_{j}+p_{j}e^{it})}$
概率母函数	${\displaystyle \prod \limits _{j=1}^{n}(1-p_{j}+p_{j}z)}$

在機率论和统计学中，卜瓦松二项分布是一個基於独立伯努利试验之和的离散機率分布。这一概念以西梅翁·德尼·泊松的名字命名。

换句话说，它是成功概率分別為${\displaystyle p_{1},p_{2},\dots ,p_{n}}$的n次独立伯努利试验中，成功次数的機率分布。普通二项分布是卜瓦松二项分布在所有成功機率相同（即${\displaystyle p_{1}=p_{2}=\cdots =p_{n}}$）时的特例。

定義

機率质量函数

n次试验中有k次成功的機率可以写为以下总和^[1]

${\displaystyle \Pr(K=k)=\sum \limits _{A\in F_{k}}\prod \limits _{i\in A}p_{i}\prod \limits _{j\in A^{c}}(1-p_{j})}$

其中${\displaystyle F_{k}}$是 {1,2,3,..., n } 的全體k元子集的集合。例如，如果n = 3，那么${\displaystyle F_{2}=\left\{\{1,2\},\{1,3\},\{2,3\}\right\}}$。${\displaystyle A^{c}}$是${\displaystyle A}$的补集，也就是${\displaystyle A^{c}=\{1,2,3,\dots ,n\}\setminus A}$。

${\displaystyle F_{k}}$将包含${\displaystyle n!/((n-k)!k!)}$個元素，因此上述总和在實務中是很難計算的，除非试验次数n很小（例如，如果n = 30，${\displaystyle F_{15}}$包含超过10²⁰个元素）。然而，还有其他更有效的方法可以计算${\displaystyle \Pr(K=k)}$。

只要成功機率都不等于 1，就可以使用递归公式计算出k次成功的機率：^[2][3]

${\displaystyle \Pr(K=k)={\begin{cases}\prod \limits _{i=1}^{n}(1-p_{i})&k=0\\{\frac {1}{k}}\sum \limits _{i=1}^{k}(-1)^{i-1}\Pr(K=k-i)T(i)&k>0\\\end{cases}}}$

其中

${\displaystyle T(i)=\sum \limits _{j=1}^{n}\left({\frac {p_{j}}{1-p_{j}}}\right)^{i}.}$

递归公式在数值上不稳定，在${\displaystyle n}$约大于20時应避免使用。另一种方法是使用分治算法：假设${\displaystyle n=2^{b}}$是2的幂，並以${\displaystyle f(p_{i:j})}$表示成功概率為${\displaystyle p_{i},\dots ,p_{j}}$的卜瓦松二项分布，${\displaystyle *}$表示卷积，則${\displaystyle f(p_{1:2^{b}})=f(p_{1:2^{b-1}})*f(p_{2^{b-1}+1:2^{b}})}$。

另一种可能性是使用离散傅立叶变换。 ^[4]

${\displaystyle \Pr(K=k)={\frac {1}{n+1}}\sum \limits _{l=0}^{n}C^{-lk}\prod \limits _{m=1}^{n}\left(1+(C^{l}-1)p_{m}\right)}$

其中${\displaystyle C=\exp \left({\frac {2i\pi }{n+1}}\right)}$，${\displaystyle i={\sqrt {-1}}}$。

Chen和Liu在“卜瓦松二项式和条件伯努利分布的统计应用”中描述了其他方法。 ^[5]

特性

均值和方差

由于卜瓦松二项式分布變數是n个独立伯努利分布變數的总和，因此其均值和方差将是n个伯努利分布的均值和方差之和：

${\displaystyle \mu =\sum \limits _{i=1}^{n}p_{i}}$

${\displaystyle \sigma ^{2}=\sum \limits _{i=1}^{n}(1-p_{i})p_{i}}$

當平均值（${\displaystyle \mu }$）和次數（n）為定值，且所有成功機率相等時，我们會得到二项式分布，變異數此時最大。当平均值固定时，變異數的上界為具有相同均值的卜瓦松分布的變異數，該上界在n趋于无穷大時可以渐近取得。^{[來源請求]}

熵

卜瓦松二項式分佈的熵沒有簡單的公式，但熵的上限是具有相同數字參數和相同均值的二項式分佈的熵。因此，熵也不大於相同均值的卜瓦松分佈的熵。

謝普-奧爾金凹性猜想由勞倫斯·謝普（英语：Lawrence Shepp）和英格拉姆·奧爾金（英语：Ingram Olkin）於1981年提出，指出卜瓦松二項式分佈的熵是成功機率${\displaystyle p_{1},p_{2},\dots ,p_{n}}$的凹函數。這個猜想由 Erwan Hillion 和 Oliver Johnson 於2015年證明。1981年同一篇論文亦提出謝普-奧爾金單調性猜想：若${\displaystyle p_{i}\leq 1/2}$，則熵對${\displaystyle p_{i}}$為單調遞增。這個猜想也被 Hillion 和 Johnson 於 2019 年證明。

參考資料

1. Wang, Y. H. On the number of successes in independent trials (PDF). Statistica Sinica. 1993, 3 (2): 295–312 [2023-07-29]. （原始内容存档 (PDF)于2016-03-03）. 
2. Shah, B. K. On the distribution of the sum of independent integer valued random variables. American Statistician. 1994, 27 (3): 123–124. JSTOR 2683639. 
3. Chen, X. H.; A. P. Dempster; J. S. Liu. Weighted finite population sampling to maximize entropy (PDF). Biometrika. 1994, 81 (3): 457 [2023-07-29]. doi:10.1093/biomet/81.3.457. （原始内容存档 (PDF)于2022-01-07）. 
4. Fernandez, M.; S. Williams. Closed-Form Expression for the Poisson-Binomial Probability Density Function. IEEE Transactions on Aerospace and Electronic Systems. 2010, 46 (2): 803–817. Bibcode:2010ITAES..46..803F. S2CID 1456258. doi:10.1109/TAES.2010.5461658. 
5. Chen, S. X.; J. S. Liu. Statistical Applications of the Poisson-Binomial and conditional Bernoulli distributions. Statistica Sinica. 1997, 7: 875–892.