圆均匀分布

在概率论与方向统计学中，圆均匀分布（英語：circular uniform distribution）是单位圆上均匀的概率分布。

描述

圆均匀分布的概率密度函数是：

${\displaystyle f_{CU}(\theta )={\frac {1}{2\pi }}}$

用圆变量${\displaystyle z=e^{i\theta }}$来表示，圆均匀分布的n（n>0）阶圆矩${\displaystyle \langle z^{n}\rangle }$都为0。

平均值的分布

从一个圆均匀分布取得的${\displaystyle N}$个测量值${\displaystyle z_{n}=e^{i\theta _{n}}}$的样本平均为：

${\displaystyle {\overline {z}}={\frac {1}{N}}\sum _{n=1}^{N}z_{n}={\overline {C}}+i{\overline {S}}={\overline {R}}e^{i{\overline {\theta }}}}$

其中^[1]

${\displaystyle {\overline {C}}={\frac {1}{N}}\sum _{n=1}^{N}\cos(\theta _{n})\qquad \qquad {\overline {S}}={\frac {1}{N}}\sum _{n=1}^{N}\sin(\theta _{n})}$

平均长度

${\displaystyle {\overline {R}}^{2}=|{\overline {z}}|^{2}={\overline {C}}^{2}+{\overline {S}}^{2}}$

平均角度

${\displaystyle {\overline {\theta }}=\mathrm {Arg} ({\overline {z}}).\,}$

圆均匀分布的样本平均的取值集中在0的附近，随着N增大而更加集中。均匀分布的样本平均的分布为^[2]：

${\displaystyle {\frac {1}{(2\pi )^{N}}}\int _{\Gamma }\prod _{n=1}^{N}d\theta _{n}=P({\overline {R}})P({\overline {\theta }})\,d{\overline {R}}\,d{\overline {\theta }}}$

其中${\displaystyle \Gamma }$是${\displaystyle [0,2\pi )^{N}}$的使得${\displaystyle {\overline {R}}}$与${\displaystyle {\bar {\theta }}}$为常数的子空间。角度分布${\displaystyle P({\bar {\theta }})}$是均匀的

${\displaystyle P({\overline {\theta }})={\frac {1}{2\pi }}}$

${\displaystyle {\bar {R}}}$的分布为：

${\displaystyle P_{N}({\overline {R}})=N^{2}{\overline {R}}\int _{0}^{\infty }J_{0}(N{\overline {R}}\,t)J_{0}(t)^{N}t\,dt}$

圆均匀分布的样本平均的分布（N=3），蒙特卡洛模拟，1万点。

其中${\displaystyle J_{0}}$是0阶贝塞尔函数。上面的积分没有已知的解析解，也很难作近似估计，因为被积函数有大量震荡。

对于某些特殊情况，上面的积分式可以求出来，例如N=2：

${\displaystyle P_{2}({\bar {R}})={\frac {2}{\pi {\sqrt {1-{\bar {R}}^{2}}}}}}$当N很大时，平均值的分布可以由方向统计学的中心极限定理确定。由于角度是均匀分布的，每个角的正弦和余弦服从分布：

${\displaystyle P(u)du={\frac {1}{\pi }}{\frac {du}{\sqrt {1-u^{2}}}}}$其中${\displaystyle u=\cos \theta _{n}\,}$或${\displaystyle \sin \theta _{n}\,}$。由此可得平均值为0，均值为1/2。根据中心极限定理，在大N极限下，${\displaystyle {\bar {C}}}$与${\displaystyle {\bar {S}}}$作为大量独立同分布的随机变量的和，近似于均值为0方差为1/2N的正态分布。

熵

均匀分布的微分熵就是

${\displaystyle H_{U}=-\int _{\Gamma }{\frac {1}{2\pi }}\ln \left({\frac {1}{2\pi }}\right)\,d\theta =\ln(2\pi )}$

其中${\displaystyle \Gamma }$是长度为${\displaystyle 2\pi }$的区间。这是圆分布的熵的最大值。

参考文献

1. "Transmit beamforming for radar applications using circularly tapered random arrays - IEEE Conference Publication". ieeexplore.ieee.org. Retrieved 22 April 2018.
2. Jammalamadaka, S. Rao; Sengupta, A. (2001). Topics in Circular Statistics. World Scientific Publishing Company. ISBN 978-981-02-3778-3.