外积 (张量积)

關於其他常稱作外積的相關二元運算，參閱外積。

外积（英語：outer product），在线性代数中一般指两个向量的张量積，其結果為一矩陣；與外积相對，兩向量的內積結果為純量。

外積也可視作是矩陣的克羅內克積的一種特例。注意到：一些作者將「張量的外積」作為張量積的同義詞。

矩阵乘法定义

向量的外积是矩阵的克罗内克积的特殊情况。

给定${\displaystyle m\times 1}$ 列向量${\displaystyle \mathbf {u} }$和${\displaystyle 1\times n}$ 行向量${\displaystyle \mathbf {v} }$，它们的外积${\displaystyle \mathbf {u} \otimes \mathbf {v} }$被定义为${\displaystyle m\times n}$矩阵${\displaystyle \mathbf {A} }$，结果出自

${\displaystyle \mathbf {u} \otimes \mathbf {v} =\mathbf {A} =\mathbf {u} \mathbf {v} }$

这里的张量积就是向量的乘法。

使用坐标：

${\displaystyle {\begin{bmatrix}b_{1}\\b_{2}\\b_{3}\\b_{4}\end{bmatrix}}\otimes {\begin{bmatrix}a_{1}&a_{2}&a_{3}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}a_{1}b_{1}&a_{2}b_{1}&a_{3}b_{1}\\a_{1}b_{2}&a_{2}b_{2}&a_{3}b_{2}\\a_{1}b_{3}&a_{2}b_{3}&a_{3}b_{3}\\a_{1}b_{4}&a_{2}b_{4}&a_{3}b_{4}\end{bmatrix}}}$

对于复数向量，习惯使用${\displaystyle \mathbf {v} }$的复共轭(指示为${\displaystyle {\bar {\mathbf {v} }}}$)，因为人们把行向量认为是对偶空间的复共轭向量空间的元素：

${\displaystyle \mathbf {u} \otimes \mathbf {v} =\mathbf {A} =\mathbf {u} {\bar {\mathbf {v} }}}$

如果${\displaystyle \mathbf {v} }$是列向量，定义变为：

${\displaystyle \mathbf {u} \otimes \mathbf {v} =\mathbf {A} =\mathbf {u} \mathbf {v} ^{*}}$

这里的${\displaystyle \mathbf {v} ^{*}}$是${\displaystyle \mathbf {v} }$的共轭转置。

相对于外积

如果${\displaystyle \mathbf {v} }$是列向量，而且m = n，则可以采用其他方式的积，生成一个标量(或${\displaystyle 1\times 1}$矩阵):

${\displaystyle \left\langle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \right\rangle =\left\langle \mathbf {v} ,\mathbf {u} \right\rangle =\mathbf {v} \mathbf {u} }$

它是欧几里得空间的标准内积，常叫做点积。

抽象定义

给定向量${\displaystyle v\in V}$和余向量${\displaystyle w^{*}\in W^{*}}$，张量积${\displaystyle v\otimes w^{*}}$给出映射${\displaystyle A\colon W\to V}$，在同构${\displaystyle \mathrm {Hom} (W,V)=W^{*}\otimes V}$之下。

具体的说，给定${\displaystyle w\in W}$，

${\displaystyle A(w):=w^{*}(w)v}$

这里的${\displaystyle w^{*}(w)}$是${\displaystyle w^{*}}$在w上的求值，它生成一个标量，接着乘v。

可作为替代，它是${\displaystyle w^{*}\colon W\to K}$与${\displaystyle v\colon K\to V}$的复合。

如果${\displaystyle W=V}$，则还可以配对${\displaystyle w^{*}(v)}$，这是内积。

参见

• 内积
• 叉积
• 张量积