對數凸函數

對數凸函數或超凸函數^[1]為一種定義在實數向量空间中凸集內，且其值為正數的函数f，若 ${\displaystyle {\log }\circ f}$（函數f取對數後的數值）仍為凸函數，原函數即為對數凸函數。對數函數會大幅降低函數成長的速率，因此若取對數後仍為凸函數，表示函數上昇的速度比凸函數還快，因此會稱為超凸函數。

對數凸函數f 本身是凸函數，因為這是遞增凸函數${\displaystyle \exp }$及${\displaystyle \log \circ f}$（依定義是凸函數）的复合函数。但凸函數和對數的复合函数不一定都是凸函數。像${\displaystyle g:x\mapsto x^{2}}$是凸函數，但${\displaystyle {\log }\circ g:x\mapsto \log x^{2}=2\log |x|}$不是凸函數，因此${\displaystyle g}$不是對數凸函數。另一方面，${\displaystyle x\mapsto e^{x^{2}}}$是對數凸函數因為${\displaystyle x\mapsto \log e^{x^{2}}=x^{2}}$是凸函數。

像在正實數（英语：Positive real numbers）上的Γ函数就是對數凸函數（參見波爾-莫勒魯普定理（英语：Bohr–Mollerup theorem））。

參考資料

1. Kingman, J.F.C. 1961. A convexity property of positive matrices. Quart. J. Math. Oxford (2) 12,283-284.

• John B. Conway. Functions of One Complex Variable I, second edition. Springer-Verlag, 1995. ISBN 0-387-90328-3.
• Stephen Boyd and Lieven Vandenberghe. Convex Optimization. Cambridge University Press, 2004. ISBN 9780521833783.

相關條目

• 對數凹函數（英语：logarithmically concave function）

logarithmically convex function at PlanetMath.