巴都萬數列

以巴都萬數為邊長的等邊三角形組成的螺旋

巴都萬數列（Padovan Sequence）是一個整數數列^[1]，其起始數值跟遞歸關係定義為：

${\displaystyle P(0)=P(1)=P(2)=1}$

${\displaystyle P(n)=P(n-2)+P(n-3)}$

P(n) 的前几个值是：

1, 1, 1, 2, 2, 3, 4, 5, 7, 9, 12, 16, 21, 28, 37, 49, 65, 86, 114, 151, 200, 265, ... （OEIS數列A000931）

此數列以建築師理察·巴都萬（英语：Richard Padovan）命名，理察·巴都萬把此数列的发现归功于荷兰建筑师汉斯·范·德·兰（英语：Hans van der Laan）在1994年发表的论文《Dom. Hans van der Laan : Modern Primitive》^[2]。1996年6月，艾恩·史都華在《科學美國人》雜誌提到這個數列。

遞歸關係

• ${\displaystyle P_{n}=P_{n-1}+P_{n-5}}$（此關係可從圖中見得）
• ${\displaystyle P_{n}=P_{n-2}+P_{n-4}+P_{n-8}}$
• ${\displaystyle P_{n}=P_{n-3}+P_{n-4}+P_{n-5}}$
• ${\displaystyle P_{n}=P_{n-4}+P_{n-5}+P_{n-6}+P_{n-7}+P_{n-8}}$

佩蘭數列滿足相同的遞歸關係。它亦可從巴都萬數列定義： ${\displaystyle Perrin_{n}=P_{n+1}+P_{n-10}}$

反巴都萬數列

使用遞歸關係${\displaystyle P_{-n}=P_{-n+3}-P_{-n+1}}$可將巴都萬數列推廣到負數項。這樣的定義跟將斐波那契數推廣到反斐波那契數列相似。另一方面，反斐波那契數列取絕對值便和斐波那契數列相等，但反巴都萬數列卻不：

... -7, 4, 0, -3, 4, -3, 1, 1, -2, 2, -1, 0, 1, -1, 1, 0, 0, 1, 0, 1, 1, 1 ...

項的和

首${\displaystyle n}$項（包括第0項）之和比${\displaystyle P_{n+5}}$少2：

${\displaystyle \sum _{m=0}^{n}P_{m}=P_{n+5}-2.}$

下面是每隔數項的和：

${\displaystyle \sum _{m=0}^{n}P_{2m}=P_{2n+3}-1}$

${\displaystyle \sum _{m=0}^{n}P_{2m+1}=P_{2n+4}-1}$

${\displaystyle \sum _{m=0}^{n}P_{3m}=P_{3n+2}}$

${\displaystyle \sum _{m=0}^{n}P_{3m+1}=P_{3n+3}-1}$

${\displaystyle \sum _{m=0}^{n}P_{3m+2}=P_{3n+4}-1}$

${\displaystyle \sum _{m=0}^{n}P_{5m}=P_{5n+1}.}$

下面的恆等式跟項與項的乘積之和有關：

${\displaystyle \sum _{m=0}^{n}P_{m}^{2}=P_{n+2}^{2}-P_{n-1}^{2}-P_{n-3}^{2}}$

${\displaystyle \sum _{m=0}^{n}P_{m}^{2}P_{m+1}=P_{n}P_{n+1}P_{n+2}}$

${\displaystyle \sum _{m=0}^{n}P_{m}P_{m+2}=P_{n+2}P_{n+3}-1.}$

其他恆等式

${\displaystyle P_{n}^{2}-P_{n+1}P_{n-1}=P_{-n-7}.}$

巴都萬數列跟二項式係數之和有關：

${\displaystyle \sum _{2m+n=k}{m \choose n}=P_{k-2}.}$

估計值

${\displaystyle x^{3}-x-1=0}$有三個根：唯一的實數根${\displaystyle p}$（即銀數）和兩個複數根${\displaystyle q}$和${\displaystyle r}$。

${\displaystyle P_{n}={\frac {p^{n}}{\left(3p^{2}-1\right)}}+{\frac {q^{n}}{\left(3q^{2}-1\right)}}+{\frac {r^{n}}{\left(3r^{2}-1\right)}}.}$

因為${\displaystyle q}$和${\displaystyle r}$的絕對值都少於1，當${\displaystyle n}$趨近無限，其冪會趨近0。因此，對於很大的${\displaystyle n}$，可以以下面的公式估計：

${\displaystyle P_{n}\approx {\frac {p^{n}}{\left(3p^{2}-1\right)}}={\frac {p^{n}}{4.264632...}}.}$

從上面的公式亦知${\displaystyle {\frac {P_{n+1}}{P_{n}}}}$的值趨近銀數。

整數分拆上的定義

${\displaystyle P_{n}}$可以用不同的整數分拆來定義。

• ${\displaystyle P_{n}}$是將${\displaystyle n+2}$寫成一個有序、每項是2或3的和式的方法的數目。例如${\displaystyle P_{6}=4}$，有4種方法將8寫成這類和式：

2+2+2+2 ; 2+3+3 ; 3+2+3 ; 3+3+2

• ${\displaystyle P_{2n-2}}$是將${\displaystyle n}$寫成一個有序且式中沒有項為2的和式的方法的數目。例如${\displaystyle P_{5\times 2-2}=P_{8}=7}$，有7種方法將5寫成這類和式：

1+1+1+1+1 ; 1+1+3 ; 1+3+1 ; 3+1+1 ; 4+1 ; 1+4 ; 5

• ${\displaystyle P_{n}}$是將${\displaystyle n}$寫成一個有序且「回文型」且式中沒有項為2的和式的方法的數目。例如${\displaystyle P_{9}=9}$，有9種方法將9寫成這類和式：

9 ; 1+7+1 ; 1+1+5+1+1 ; 1+1+1+3+1+1+1 ; 1+1+1+1+1+1+1+1+1; 3+3+3 ; 4+1+4 ; 3+1+1+1+3; 1+3+1+3+1

• 若上述情況改為${\displaystyle P_{8}=8}$，則數列如下：

1+1+1+1+1+1+1+1: 4+4; 3+1+1+3; 1+3+3+1; 1+1+4+1+1; 1+6+1; 8

• ${\displaystyle P_{n}}$是將${\displaystyle n+4}$寫成一個有序的、每項除以3都餘2的和式的方法的數目。例如${\displaystyle P_{7}=5}$，有5種方法將11寫成這類和式：

11 ; 2+2+2+5 ; 2+2+5+2 ; 2+5+2+2 ; 5+2+2+2

生成函數

巴都萬數列的生成函數為

${\displaystyle G(P_{n};x)={\frac {1+x}{1-x^{2}-x^{3}}}.}$

它可以用於證明巴都萬數跟幾何級數的項的積的等式，例如：

${\displaystyle \sum _{m=0}^{\infty }{\frac {P_{n}}{2^{n}}}={\frac {12}{5}}.}$

多項式

巴都萬數列可以一般化成一個多項式的集。

${\displaystyle P_{n}(x)=\left\{{\begin{matrix}1,\qquad \qquad \qquad \qquad &{\mbox{if }}n=0\\x,\qquad \qquad \qquad \qquad &{\mbox{if }}n=1\\x^{2},\qquad \qquad \qquad \qquad &{\mbox{if }}n=2\\xP_{n-2}(x)+P_{n-3}(x),&{\mbox{if }}n\geq 3\end{matrix}}\right.}$

首七個巴都萬多項式為：

${\displaystyle P_{0}(x)=1\,}$

${\displaystyle P_{1}(x)=x\,}$

${\displaystyle P_{2}(x)=x^{2}\,}$

${\displaystyle P_{3}(x)=x^{2}+1\,}$

${\displaystyle P_{4}(x)=x^{3}+x\,}$

${\displaystyle P_{5}(x)=x^{3}+x^{2}+x\,}$

${\displaystyle P_{6}(x)=x^{4}+2x^{2}+1\,}$

${\displaystyle P_{7}(x)=x^{4}+2x^{3}+x^{2}+x\,}$

第${\displaystyle n}$個巴都萬數即${\displaystyle P_{n}(1)}$。

其他特質

• 奇偶性：按「奇奇奇偶偶奇偶」的組合重覆出現。
• 數列中的質數：${\displaystyle P_{3,4}=2;P_{5}=3;P_{7}=5;P_{8}=7;P_{14}=37;P_{19}=151;P_{30}=3329;P_{37}=23833;...}$（OEIS:A000931）
• 數列中的平方數：${\displaystyle P_{0,1,2}=1;P_{6}=2^{2};P_{9}=3^{2};P_{11}=4^{2};P_{15}=7^{2}}$

参考文献

1. Weisstein, Eric W. (编). Padovan Sequence. at MathWorld--A Wolfram Web Resource. Wolfram Research, Inc. （英语）. 
2. Richard Padovan. Dom Hans van der Laan: modern primitive: Architectura & Natura Press, ISBN 9789071570407.

外部連結

• Padovan Sequence （页面存档备份，存于互联网档案馆）（MathWorld）
• Tales of a Neglected Number，艾恩·史都華在雜誌發表的文章
• 學生科技網--中學生科技：美丽的螺旋线 黄金分割漫谈之三，李颍伯
• Dom Hans Van Der Laan And The Plastic Number （页面存档备份，存于互联网档案馆）, Richard Padovan