循序可测过程

在数学中，循序可测是随机过程的一种性质。循序可测性质是随机过程研究中用到的一种重要性质，能够保证停过程的可测性。循序可测性比随机过程的适应性更加严格^[1]:4-5。循序可测过程在伊藤积分理论中有重要应用。

定义

设有

• 概率空间${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},\mathbb {P} )}$；
• 测度空间${\displaystyle (\mathbb {X} ,{\mathcal {A}})}$，状态空间；
• σ-代数${\displaystyle {\mathcal {F}}}$上的参考族${\displaystyle \{{\mathcal {F}}_{t}|t\geqslant 0\}}$；
• 随机过程${\displaystyle X:T=[0,\infty )\times \Omega \to \mathbb {X} =\left(X_{t}\right)_{t\in T}}$（指标集${\displaystyle T}$也可以是有限时间${\displaystyle [0,T_{0}]}$或离散时间${\displaystyle \mathbb {N} }$）。

则随机过程${\displaystyle \left(X_{t}\right)_{t\in T}}$是循序可测过程当且仅当对任意的时刻${\displaystyle t\in T}$，映射

${\displaystyle X\left|_{[0,t]}:\,\,[0,t]\times \Omega \,\,\longrightarrow \,\,\mathbb {X} \right.}$

${\displaystyle (s,\omega )\quad \mapsto \,\,X_{s}(\omega )}$

都是 ${\displaystyle \mathrm {Borel} ([0,t])\otimes {\mathcal {F}}_{t}}$-可测的^[2]:110。${\displaystyle \left(X_{t}\right)_{t\in T}}$是循序可测过程可以推出它必然是适应过程^[1]:5。

子集${\displaystyle P\subseteq [0,\infty )\times \Omega }$是循序可测集合当且仅当指示过程：

${\displaystyle X_{s}(\omega ):=\mathbf {1} _{P}(s,\omega )}$

是循序可测过程。所有循序可测的子集${\displaystyle P}$构成${\displaystyle [0,\infty )\times \Omega }$上的一个σ-代数，一般记为${\displaystyle \mathrm {Prog} }$。一个随机过程${\displaystyle \left(X_{t}\right)_{t\in T}}$是循序可测过程当且仅当它（在被看作${\displaystyle [0,\infty )\times \Omega }$上的随机变量时）是${\displaystyle \mathrm {Prog} }$-可测的^[3]:190。

性质

• 如果一个适应随机过程是左连续或右连续的，那么它是循序可测过程。特别地，左极限右连续的适应随机过程是循序可测过程^[3]:191。
• 设${\displaystyle W=\left(W_{t}(\omega )\,;\,\,t\in T,\,\omega \in \Omega \right)}$是一维的标准布朗运动过程，${\displaystyle H=\left(H_{t}(\omega )\,;\,\,t\in T,\,\omega \in \Omega \right)}$为关于${\displaystyle W}$的参考族${\displaystyle \{{\mathcal {F}}_{t}^{W}\}}$的（实值的）循序可测过程，并且满足${\displaystyle \mathbb {E} [\int _{T}H(t)^{2}\mathrm {d} t]<\infty }$，那么我们可以定义${\displaystyle H}$关于${\displaystyle W}$的随机积分：${\displaystyle \int _{T}H(t)\mathrm {d} W_{t}}$^[2]:146-147，而且满足

  ${\displaystyle \mathbb {E} \left[\left(\int _{T}H(t)\mathrm {d} W_{t}\right)^{2}\right]=\mathbb {E} \left[\int _{T}H(t)^{2}\mathrm {d} t\right].}$^{[3]:192[2]:141}。

• 一个随机过程${\displaystyle X=\left(X_{t}(\omega )\,;\,\,t\in T,\,\omega \in \Omega \right)}$的修正（modification）是指另一个随机过程${\displaystyle Y=\left(Y_{t}(\omega )\,;\,\,t\in T,\,\omega \in \Omega \right)}$，满足${\displaystyle \forall t\in T,\,\,\mathbb {P} (X_{t}=Y_{t})=1.}$ 可以证明，尽管不是每个可测的适应随机过程都是循序可测的，但必然拥有一个循序可测的修正^[2]:110。

参见

• 圖模式
• 马尔可夫链
• 马尔可夫逻辑网络
• 适应过程
• 可预测过程

参考来源

1. （英文）Karatzas, Ioannis; Shreve, Steven. Brownian Motion and Stochastic Calculus 2nd. Springer. 1991. ISBN 0-387-97655-8. 
2. （英文）Pascucci, Andrea. PDE and Martingale Methods in Option Pricing. Berlin: Springer. 2011. ISBN 978-8847017801. 
3. （英文）Peter Mörters, Yuval Peres. Brownian Motion. Cambridge University Press Cambridge Series in Statistical and Probabilistic Mathematics. 2010. ISBN 9780521760188.