微分的線性

在微积分中，函数的任何线性组合的导数等于函数的导数的相同线性组合^[1]，此属性称为微分的线性（linearity of differentiation）^[2]、线性法则（rule of linearity）、或微分的叠加法则^[3]。导数的基本属性是将两个简单的微分法则封装在一起：求和法则（两个函数之和的导数是导数的和）和常数法则（函數的常數倍的導數是該函數的導數的常數倍）^[4][5]。因此，可以说微分作用是线性的，或者微分算子是线性的算子^[6]。

說明

設 f 和 g 為函數，同時 α 和 β 是常數，思考：

${\displaystyle {\frac {\mbox{d}}{{\mbox{d}}x}}(\alpha \cdot f(x)+\beta \cdot g(x))}$

通過微分的求和法則：

${\displaystyle {\frac {\mbox{d}}{{\mbox{d}}x}}(\alpha \cdot f(x))+{\frac {\mbox{d}}{{\mbox{d}}x}}(\beta \cdot g(x))}$

通過微分的常數法則，這一式子變為：

${\displaystyle \alpha \cdot f'(x)+\beta \cdot g'(x)}$

進而：

${\displaystyle {\frac {\mbox{d}}{{\mbox{d}}x}}(\alpha \cdot f(x)+\beta \cdot g(x))=\alpha \cdot f'(x)+\beta \cdot g'(x)}$

忽略括號，這常被寫作

${\displaystyle (\alpha \cdot f+\beta \cdot g)'=\alpha \cdot f'+\beta \cdot g'}$

參考資料

1. Blank, Brian E.; Krantz, Steven George, Calculus: Single Variable, Volume 1, Springer: 177, 2006 [2020-08-22], ISBN 9781931914598, （原始内容存档于2021-04-29） .
2. Strang, Gilbert, Calculus, Volume 1, SIAM: 71–72, 1991 [2020-08-22], ISBN 9780961408824, （原始内容存档于2021-04-29） .
3. Stroyan, K. D., Calculus Using Mathematica, Academic Press: 89, 2014 [2020-08-22], ISBN 9781483267975, （原始内容存档于2021-04-29） 
4. Estep, Donald, 20.1 Linear Combinations of Functions, Practical Analysis in One Variable, Undergraduate Texts in Mathematics, Springer: 259–260, 2002 [2020-08-22], ISBN 9780387954844, （原始内容存档于2021-04-29） .
5. Zorn, Paul, Understanding Real Analysis, CRC Press: 184, 2010 [2020-08-22], ISBN 9781439894323, （原始内容存档于2021-04-29） .
6. Gockenbach, Mark S., Finite-Dimensional Linear Algebra, Discrete Mathematics and Its Applications, CRC Press: 103, 2011 [2020-08-22], ISBN 9781439815649, （原始内容存档于2021-04-29） .