映射度

在拓扑学中，两个同维数流形之间的连续映射的度数（degree）非正式地说是一个点被盖住的次数。一个映射的度数可用同调群，或（对光滑映射）正则值的原像定义。它是卷绕数的一个推广。例如，考虑复平面上映射 zⁿ，视为 S² 到自身的映射，具有度数 n，它将球面绕自身缠了 n 圈。

在物理学中，连续映射的度数，比如从空间到有序参数集的一个映射，是拓扑量子数的一个例子。

从一个圆周到自身

最简单也最重要的例子是从圆周到自身一个连续映射的度数（这称为卷绕数）：

${\displaystyle f\colon S^{1}\to S^{1}.\,}$

存在投影：

${\displaystyle \mathbb {R} \to S^{1}=\mathbb {R} /\mathbb {Z} \,}$, ${\displaystyle x\mapsto [x],}$

这里 [x] 是 x 模 1 等价类（即 ${\displaystyle x\sim y}$ 当且仅当 ${\displaystyle x-y}$ 是整数）。

如果

${\displaystyle f:S^{1}\to S^{1}\,}$

连续则存在一个连续映射

${\displaystyle F:\mathbb {R} \to \mathbb {R} ,}$

称为 f 到 ${\displaystyle \mathbb {R} }$ 的提升，使得 f([z]) = [F(z)]。这样一个提升在差一个整数相加下惟一确定，且

${\displaystyle \deg(f)=F(x+1)-F(x).\,}$

注意到

${\displaystyle F(x+1)-F(x)\,}$

是一个整数且关于 ${\displaystyle x}$ 也连续；实数线上局部常值函数一定是常数。从而此定义与 ${\displaystyle x}$ 的选择无关。

流形之间

代数拓扑

设 X 与 Y 是一个闭连通定向 m-维流形。流形的定向性蕴含最高阶同调群同构于 Z。选取一个定向意味着选取最高阶同调群的一个生成元。

一个连续映射 f : X→Y 诱导从 H_m(X) 到 H_m(Y) 的同态 f_*。设 [X] 是选定的 H_m(X) 的生成元，或言 X 基本类。则 f 的度数定义为f_*([X])。换句话说，

${\displaystyle f_{*}([X])=\deg(f)[Y]\,.}$

如果 y 属于 Y 且 f^-1(y) 是一个有限集合，f 的度数可以通过考虑 X 在 f^-1(y) 每个点的 m-阶局部同调群计算出来。

微分拓扑

在微分拓扑的语言中，一个连续映射的度数可如下定义：如果 f 是一个连续映射，定义域是一个紧流形，设 p 是 f 的一个正则值，考虑有限集合

${\displaystyle f^{-1}(p)=\{x_{1},x_{2},..,x_{n}\}\,.}$

由 p 是一个正则值，在每个 x_i 的一个邻域中映射 f 是局部微分同胚（这是一个覆盖映射）。微分同胚可以为保持定向或反定向。设 r 是 x_i 中 f 保持定向的个数，而 s 是反定向的个数。当 f 的定义域是连通的，数 r - s 与 p 的选取无关，我们定义 f 的度数为 r - s。这个定义与上一节代数拓扑定义重合。

同样的定义对带边界的紧流形也成立，但此时 f 需将 X 的边界送到 Y 的边界。

我们也可以像上面一样类似定义模 2 度数 (deg₂(f))，取 Z₂ 同调中的基本类即可。在此情形 deg₂(f) 是 Z₂ 中一个元素，流形不要求可定向。与上类似，如果 n 是 p 原像的个数，则 deg₂(f) 是 n 模 2。

微分形式的积分给出 （C^∞-）奇异同调与德拉姆上同调之间的一个配对：<[c], [ω]> = ∫_cω，这里 [c] 是由圈 c 代表的同调类，ω 是代表一个德拉姆上同调类的一个闭形式。对定向 m-维流形之间的一个连续映射 f : X→Y，我们有

${\displaystyle \langle f_{*}[c],[\omega ]\rangle =\langle [c],f^{*}[\omega ]\rangle ,}$

这里 f_* 与 f* 分别是在链与形式上的诱导映射。因为 f_*[X] = deg f · [Y]，我们有

${\displaystyle \deg f\int _{Y}\omega =\int _{X}f^{*}\omega \,}$

对任意 Y 上 m-形式 ω。

性质

从球面到自身度数为 2 的一个映射。

映射度是同伦不变量；而且从球面到自身的连续映射是完全同伦不变量，即两个映射 ${\displaystyle f,g:S^{n}\to S^{n}\,}$ 同伦当且仅当 ${\displaystyle \deg(f)=\deg(g)}$。

换句话说，度数是一个同构 ${\displaystyle [S^{n},S^{n}]=\pi _{n}S^{n}\to \mathbf {Z} }$。

相关条目

• 拓扑度数理论（英语：Topological degree theory）

参考文献

• Flanders, H. Differential forms with applications to the physical sciences. Dover. 1989. 
• Hirsch, M. Differential topology. Springer-Verlag. 1976. ISBN 0-387-90148-5.