最佳投影方程

最佳投影方程（optimal projection equations）^[1][2][3]是控制理论中，建構局部最佳降階LQG控制器的充分必要条件^[4]。

LQG控制（線性二次高斯控制）問題是最优控制領域中最基礎的問題之一，這問題包括了存在不確定性的線性系統，受到加性高斯白噪声的影響，沒有完整的狀態資訊（無法量測到所有的狀態變數，也無法透過回授得知），對應二次的成本泛函。不過存在唯一解，而且可以建構線性動態回授的控制律，易於計算以及實現。而LQG控制器也是非線性系統中最佳擾動控制的基礎^[5]。

LQG控制器的架構會類似要控制的系統，兩者會有相同的維度。因此若系統本身就是高維度，要實現（全階）LQG控制器會很困難。降階LQG問題（固定階LQG問題）事先固定LQG控制器的階數，因此克服了這個困難。不過在全階LQG控制器中適用的分離原理，在降階LQG問題中已無法適用，因此這方面會更困難，而且其解也不唯一。不過可以找到數值分析的演算法^[4][6][7][8]來求解對應的最佳投影方程。

問題的數學表示以及其解

連續時間

降階的LQG控制問題幾乎和全階的LQG控制問題相同。令${\displaystyle {\hat {\mathbf {x} }}_{r}(t)}$表示降階LQG控制器的狀態，唯一的差異是LQG控制器的狀態維度${\displaystyle n_{r}=dim({\hat {\mathbf {x} }}_{r}(t))}$是事先定義好的值，比受控系統的狀態維度${\displaystyle n=dim({\mathbf {x} }(t))}$要少。

降階LQG控制器可以表示為下式：

${\displaystyle {\dot {\hat {\mathbf {x} }}}_{r}(t)=A_{r}(t){\hat {\mathbf {x} }}_{r}(t)+B_{r}(t){\mathbf {u} }(t)+K_{r}(t)\left({\mathbf {y} }(t)-C_{r}(t){\hat {\mathbf {x} }}_{r}(t)\right),{\hat {\mathbf {x} }}_{r}(0)={\mathbf {x} }_{r}(0),}$

${\displaystyle {\mathbf {u} }(t)=-L_{r}(t){\hat {\mathbf {x} }}_{r}(t).}$

上述公式刻意寫的類似傳統全階LQG控制器的形式，降階的LQG控制問題也可以改寫為下式：

${\displaystyle {\dot {\hat {\mathbf {x} }}}_{r}(t)=F_{r}(t){\hat {\mathbf {x} }}_{r}(t)+K_{r}(t){\mathbf {y} }(t),{\hat {\mathbf {x} }}_{r}(0)={\mathbf {x} }_{r}(0),}$

${\displaystyle {\mathbf {u} }(t)=-L_{r}(t){\hat {\mathbf {x} }}_{r}(t),}$

其中

${\displaystyle F_{r}(t)=A_{r}(t)-B_{r}(t)L_{r}(t)-K_{r}(t)C_{r}(t).}$

降階LQG控制器的矩陣${\displaystyle F_{r}(t),K_{r}(t),L_{r}(t)}$和${\displaystyle {\mathbf {x} }_{r}(0)}$是由所謂的最佳投影方程（optimal projection equations、OPE）來決定^[3]。

${\displaystyle n}$維的最佳投影方陣${\displaystyle \tau (t)}$是OPE的核心。此矩陣的秩在所有狀態下幾乎都等於${\displaystyle n_{r}}$。相關投影為斜投影（oblique projection）：${\displaystyle \tau ^{2}(t)=\tau (t)}$。最佳投影方程包括四個矩陣微分方程。前二個是LQG控制器對應的矩陣Riccati微分方程的擴展。在方程式中${\displaystyle \tau _{\perp }(t)}$表示${\displaystyle I_{n}-\tau (t)}$，而${\displaystyle I_{n}}$為${\displaystyle n}$維的單位矩陣

${\displaystyle {\begin{aligned}{\dot {P}}(t)={}&A(t)P(t)+P(t)A'(t)-P(t)C'(t)W^{-1}(t)C(t)P(t)+V(t)\\[6pt]&{}+\tau _{\perp }(t)P(t)C'(t)W^{-1}(t)C(t)P(t)\tau '_{\perp }(t),\\[6pt]P(0)={}&E\left({\mathbf {x} }(0){\mathbf {x} }'(0)\right),\\[6pt]&{}-{\dot {S}}(t)=A'(t)S(t)+S(t)A(t)-S(t)B(t)R^{-1}(t)B'(t)S(t)+Q(t)\\[6pt]&{}+\tau '_{\perp }(t)S(t)B(t)R^{-1}(t)B'(t)S(t)\tau _{\perp }(t),\end{aligned}}}$

${\displaystyle S(T)=F.}$

若LQG的維度沒有減少，也就是${\displaystyle n=n_{r}}$，則${\displaystyle \tau (t)=I_{n},\tau _{\perp }(t)=0}$，上述二個方程就是二個沒有耦合的矩陣Riccati微分方程，對應全階的LQG控制器。若${\displaystyle n_{r}<n}$，則兩個方程會有斜投影項${\displaystyle \tau (t).}$。這也是為何降階的LQG控制器無法分離的原因，斜投影${\displaystyle \tau (t)}$是由另外二個矩陣微分方程所決定，其中也和秩的條件（rank conditions）有關。這四個矩陣微分方程組成了最佳投影方程。為了要列出另外二個矩陣微分方程，先定義以下二個矩陣：

${\displaystyle \Psi _{1}(t)=(A(t)-B(t)R^{-1}(t)B'(t)S(t)){\hat {P}}(t)+{\hat {P}}(t)(A(t)-B(t)R^{-1}(t)B'(t)S(t))'}$

${\displaystyle {}+P(t)C'(t)W^{-1}(t)C(t)P(t),}$

${\displaystyle \Psi _{2}(t)=(A(t)-P(t)C'(t)W^{-1}(t)C(t))'{\hat {S}}(t)+{\hat {S}}(t)(A(t)-P(t)C'(t)W^{-1}(t)C(t))}$

${\displaystyle {}+S(t)B(t)R^{-1}(t)B'(t)S(t).}$

則最後二個矩陣微分方程如下：

${\displaystyle {\dot {\hat {P}}}(t)=1/2\left(\tau (t)\Psi _{1}(t)+\Psi _{1}(t)\tau '(t)\right),{\hat {P}}(0)=E({\mathbf {x} }(0))E({\mathbf {x} }(0))',\operatorname {rank} ({\hat {P}}(t))=n_{r}}$ almost everywhere,

${\displaystyle -{\dot {\hat {S}}}(t)=1/2\left(\tau '(t)\Psi _{2}(t)+\Psi _{2}(t)\tau (t)\right),{\hat {S}}(T)=0,\operatorname {rank} ({\hat {S}}(t))=n_{r}}$ almost everywhere,

其中

${\displaystyle \tau (t)={\hat {P}}(t){\hat {S}}(t)\left({\hat {P}}(t){\hat {S}}(t)\right)^{*}.}$

此處的 * 表示群廣義逆矩陣（group generalized inverse）或Drazin逆矩陣（英语：Drazin inverse），是唯一的，定義如下

${\displaystyle A^{*}=A(A^{3})^{+}A.}$

其中 + 是摩尔－彭若斯广义逆.

矩陣${\displaystyle P(t),S(t),{\hat {P}}(t),{\hat {S}}(t)}$都需要是非負對稱矩陣。可以建構最佳投影方程的解，而此解可以決定降階LQG控制器矩陣${\displaystyle F_{r}(t),K_{r}(t),L_{r}(t)}$和${\displaystyle {\mathbf {x} }_{r}(0)}$：

${\displaystyle F_{r}(t)=H(t)\left(A(t)-P(t)C'(t)W^{-1}(t)C(t)-B(t)R^{-1}(t)B'(t)S(t)\right)G(t)+{\dot {H}}(t)G'(t),}$

${\displaystyle K_{r}(t)=H(t)P(t)C'(t)W^{-1}(t),}$

${\displaystyle L_{r}(t)=R^{-1}(t)B'(t)S(t)G'(t),}$

${\displaystyle {\mathbf {x} }_{r}(0)=H(0)E({\mathbf {x} }(0)).}$

上式中的矩陣${\displaystyle G(t),H(t)}$是符合以下性質的矩陣：

${\displaystyle G'(t)H(t)=\tau (t),G(t)H'(t)=I_{n_{r}}}$幾乎在所有狀態下。

可以由${\displaystyle {\hat {P}}(t){\hat {S}}(t)}$的投影分解中得到^[4]：

若降階LQG問題中的所有矩陣都是非時變的，且最終時間（horizon）${\displaystyle T}$趨近無限大，則最佳降階LQG控制器和最佳投影方程也都會是非時變的^[1]。此情形下，最佳投影方程左側的微分項會為零。

離散時間

離散時間的情形類似連續時間的例子，要處理的是將${\displaystyle n}$階傳統離散時間全階LQG問題轉換為事先已知固定階數的${\displaystyle n_{r}<n}$階降階LQG控制器。為了要表示離散時間的OPE，先引入以下二個矩陣：

${\displaystyle \Psi _{i}^{1}=\left(A_{i}-B_{i}(B'_{i}S_{i+1}B_{i}+R_{i})^{-1}B'_{i}S_{i+1}A_{i})\right){\hat {P}}_{i}\left(A_{i}-B_{i}(B'_{i}S_{i+1}B_{i}+R_{i})^{-1}B'_{i}S_{i+1}A_{i})\right)'}$

${\displaystyle {}+A_{i}P_{i}C'_{i}(C_{i}P_{i}C'_{i}+W_{i})^{-1}C_{i}P_{i}A'_{i}}$

${\displaystyle \Psi _{i+1}^{2}=\left(A_{i}-A_{i}P_{i}C'_{i}(C_{i}P_{i}C'_{i}+W_{i})^{-1}C_{i}\right)'{\hat {S}}_{i+1}\left(A_{i}-A_{i}P_{i}C'_{i}(C_{i}P_{i}C'_{i}+W_{i})^{-1}C_{i}\right)}$

${\displaystyle {}+A'_{i}S_{i+1}B_{i}(B'_{i}S_{i+1}B_{i}+R_{i})^{-1}B'_{i}S_{i+1}A_{i}}$

則離散時間OPE為

${\displaystyle P_{i+1}=A_{i}\left(P_{i}-P_{i}C'_{i}\left(C_{i}P_{i}C'_{i}+W_{i}\right)^{-1}C_{i}P_{i}\right)A'_{i}+V_{i}+\tau _{\perp i+1}\Psi _{i}^{1}\tau '_{\perp i+1},P_{0}=E\left({\mathbf {x} }_{0}{\mathbf {x'} }_{0}\right)}$.

${\displaystyle S_{i}=A'_{i}\left(S_{i+1}-S_{i+1}B_{i}\left(B'_{i}S_{i+1}B_{i}+R_{i}\right)^{-1}B'_{i}S_{i+1}\right)A_{i}+Q_{i}+\tau '_{\perp i}\Psi _{i+1}^{2}\tau _{\perp i},S_{N}=F}$.

${\displaystyle {\hat {P}}_{i+1}=1/2(\tau _{i+1}\Psi _{i}^{1}+\Psi _{i}^{1}\tau '_{i+1}),{\hat {P}}_{0}=E({\mathbf {x} }(0))E({\mathbf {x} }(0))',\operatorname {rank} ({\hat {P}}_{i})=n_{r}}$ almost everywhere,

${\displaystyle {\hat {S}}_{i}=1/2(\tau '_{i}\Psi _{i+1}^{2}+\Psi _{i+1}^{2}\tau _{i}),{\hat {S}}_{N}=0,\operatorname {rank} ({\hat {S}}_{i})=n_{r}}$ almost everywhere.

斜投影（oblique projection）矩陣為

${\displaystyle \tau _{i}={\hat {P}}_{i}{\hat {S}}_{i}\left({\hat {P}}_{i}{\hat {S}}_{i}\right)^{*}.}$

非負對稱矩陣${\displaystyle P_{i},S_{i},{\hat {P}}_{i},{\hat {S}}_{i}}$是離散時間OPE的解，也決定了降階LQG控制器的矩陣${\displaystyle F_{i}^{r},K_{i}^{r},L_{i}^{r}}$ and ${\displaystyle {\mathbf {x} }_{0}^{r}}$：

${\displaystyle F_{i}^{r}=H_{i+1}\left(A_{i}-P_{i}C'_{i}\left(C_{i}P_{i}C'_{i}+W_{i}\right)^{-1}C_{i}-B_{i}\left(B'_{i}S_{i+1}B_{i}+R_{i}\right)^{-1}B'_{i}S_{i+1}\right)G'_{i},}$

${\displaystyle K_{i}^{r}=H_{i+1}P_{i}C'_{i}\left(C_{i}P_{i}C'_{i}+W_{i}\right)^{-1},}$

${\displaystyle L_{i}^{r}=\left(B'_{i}S_{i+1}B_{i}+R_{i}\right)^{-1}B'_{i}S_{i+1}G'_{i},}$

${\displaystyle {\mathbf {x} }_{0}^{r}=H_{0}E({\mathbf {x} }_{0}).}$

在上述的方程中，矩陣${\displaystyle G_{i},H_{i}}$是有以下性質的矩陣：

${\displaystyle G'_{i}H_{i}=\tau _{i},G_{i}H'_{i}=I_{n_{r}}}$幾乎在所有狀態下。

這些矩陣可以從${\displaystyle {\hat {P}}_{i}{\hat {S}}_{i}}$的投影因式分解中求得^[4]。

如同在連續時間中的例子一樣，若問題中所有的矩陣都是非時變，且且最終時間（horizon）${\displaystyle T}$趨近無限大，降階LQG控制器就會是非時變的。因此離散時間OPE會收斂到穩態解，決定非時變的降階LOG控制器^[2]。

離散時間OPE也可以應用在狀態維度，輸入維度或是輸出維度可變的離散時間系統（具有時變維度的離散時間系統）^[6]。若在數位控制器中的取樣是不同步的，就可能會出現這類的系統。

參考資料

1. Hyland D.C; Bernstein D.S. The optimal projection equations for fixed order dynamic compensation. IEEE Transactions on Automatic Control. 1984, AC–29 (11): 1034–1037. doi:10.1109/TAC.1984.1103418. hdl:2027.42/57875. 
2. Bernstein D.S.; Davis L.D.; Hyland D.C. The optimal projection equations for reduced-order discrete-time modeling estimation and control (PDF). Journal of Guidance Control and Dynamics. 1986, 9 (3): 288–293 [2020-02-04]. Bibcode:1986JGCD....9..288B. doi:10.2514/3.20105. hdl:2027.42/57880. （原始内容 (PDF)存档于2022-01-09）. 
3. Haddad W.M.; Tadmor G. Reduced-order LQG controllers for linear time-varying plants. Systems & Control Letters. 1993, 20 (2): 87–97. doi:10.1016/0167-6911(93)90020-7. 
4. Van Willigenburg L.G.; De Koning W.L. Numerical algorithms and issues concerning the discrete-time optimal projection equations. European Journal of Control. 2000, 6 (1): 93–100. doi:10.1016/s0947-3580(00)70917-4.  Associated software download from Matlab Central （页面存档备份，存于互联网档案馆）.
5. Athans M. The role and use of the stochastic linear-quadratic-Gaussian problem in control system design. IEEE Transactions on Automatic Control. 1971, AC–16 (6): 529–552. doi:10.1109/TAC.1971.1099818. 
6. Van Willigenburg L.G.; De Koning W.L. Optimal reduced-order compensators for time-varying discrete-time systems with deterministic and white parameters. Automatica. 1999, 35: 129–138. doi:10.1016/S0005-1098(98)00138-1.  Associated software download from Matlab Central （页面存档备份，存于互联网档案馆）.
7. Zigic D.; Watson L.T.; Collins E.G.; Haddad W.M.; Ying S. Homotopy methods for solving the optimal projection equations for the H2 reduced order model problem. International Journal of Control. 1996, 56 (1): 173–191. doi:10.1080/00207179208934308. 
8. Collins Jr. E.G; Haddad W.M.; Ying S. A homotopy algorithm for reduced-order dynamic compensation using the Hyland–Bernstein optimal projection equations. Journal of Guidance Control & Dynamics. 1996, 19 (2): 407–417. doi:10.2514/3.21633.