热核

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一维热方程的基本解（红线）

热核（英語：heat kernel）在数学中是指热方程的基本解。其也是拉普拉斯算子谱分析中的重要工具之一。对于固定边界的区域，当边界温度给定、并于t = 0时在其中某一点放置一单位热能时，热核表示此后区域内温度的变化过程。

最常见的热核为d维欧几里得空间R^d上的热核。该热核为随时间变化的高斯函数，其表达式为

${\displaystyle K(t,x,y)={\frac {1}{(4\pi t)^{d/2}}}e^{-|x-y|^{2}/4t}\,}$

该热核是热方程

${\displaystyle {\frac {\partial K}{\partial t}}(t,x,y)=\Delta _{x}K(t,x,y)\,}$

的解，其中t > 0，x,y ∈ R^d，Δ则表示拉普拉斯算子。方程的初始条件为

${\displaystyle \lim _{t\to 0}K(t,x,y)=\delta (x-y)=\delta _{x}(y)}$

其中δ表示狄拉克δ函数。对任一紧支撑的光滑函数φ，有

${\displaystyle \lim _{t\to 0}\int _{\mathbf {R} ^{d}}K(t,x,y)\phi (y)\,dy=\phi (x).}$

对于R^d上的一般区域，热核并没有显式的表达式。当区域为圆盘或方形时，热核则分别为贝塞尔函数与雅可比Θ函数。可以证明，对任意黎曼流形，当边界条件充分正则时，热核存在且在t>0时光滑。

参考文献

• Berline, Nicole; Getzler, E.; Vergne, Michèle, Heat Kernels and Dirac Operators, Berlin, New York: Springer-Verlag, 2004 
• Chavel, Isaac, Eigenvalues in Riemannian geometry, Pure and Applied Mathematics 115, Boston, MA: Academic Press, 1984, ISBN 978-0-12-170640-1, MR 0768584 .
• Evans, Lawrence C., Partial differential equations, Providence, R.I.: American Mathematical Society, 1998, ISBN 978-0-8218-0772-9 
• Gilkey, Peter B., Invariance Theory, the Heat Equation, and the Atiyah–Singer Theorem, 1994 [2018-04-05], ISBN 978-0-8493-7874-4, （原始内容存档于2019-12-29） 
• Grigor'yan, Alexander, Heat kernel and analysis on manifolds, AMS/IP Studies in Advanced Mathematics 47, Providence, R.I.: American Mathematical Society, 2009 [2018-04-05], ISBN 978-0-8218-4935-4, MR 2569498, （原始内容存档于2019-06-09） 
• Kotani, Motoko; Sunada, Toshikazu, Albanese maps and an off diagonal long time asymptotic for the heat kernel, Comm. Math. Phys., 2000, 209: 633–670, Bibcode:2000CMaPh.209..633K, doi:10.1007/s002200050033