真凸函数

在数学分析， 特别是凸分析与最优化中， 凸函数 f 在扩展实数线上的取值若满足存在 x 使得

${\displaystyle f(x)<+\infty }$

同时对所有 x 满足

${\displaystyle f(x)>-\infty }$

称被称作真凸函数。 这意味着，若凸函数为“真”， 则其有效域非空，值不为 ${\displaystyle -\infty }$.^[1]。

不满足真条件的凸函数被称作“非真凸函数”。^[2]

若函数 g 的负函数 ${\displaystyle f=-g}$ 为真凸函数， 则 g 为“真凹函数”。

性质

对于Rⁿ 上任意真凸函数f， 存在Rⁿ上的 b 与实数 β， 使得所有 x满足

${\displaystyle f(x)\geq x\cdot b-\beta }$

两个真凸函数的和未必保持真与凸的性质。举例来说， 假设集合 ${\displaystyle A\subset X}$ 与 ${\displaystyle B\subset X}$ 均为向量空间 X 上的非空 凸集， 那么特征函数 ${\displaystyle I_{A}}$ 和 ${\displaystyle I_{B}}$ 为真凸函数， 但是当 ${\displaystyle A\cap B=\emptyset }$ 时， ${\displaystyle I_{A}+I_{B}}$ 始终等于 ${\displaystyle +\infty }$.

两个真凸函数的卷积下确界为凸函数， 但未必是真凸。^[3]

参考文献

1. Aliprantis, C.D.; Border, K.C. Infinite Dimensional Analysis: A Hitchhiker's Guide 3. Springer. 2007: 254. ISBN 978-3-540-32696-0. doi:10.1007/3-540-29587-9. 
2. Rockafellar, R. Tyrrell. Convex Analysis. Princeton, NJ: Princeton University Press. 1997: 24 [1970]. ISBN 978-0-691-01586-6. 
3. Ioffe, Aleksandr Davidovich; Tikhomirov, Vladimir Mikhaĭlovich, Theory of extremal problems, Studies in Mathematics and its Applications 6, North-Holland: 168, 2009, ISBN 9780080875279 .