确定双线性形式

在数学中，确定双线性形式（Positive-definite bilinear form）是双线性形式B使得

B(x, x)

在x不是0的时候有固定的符号（或正或负）。

要给出形式定义，设K是域R（实数）或C（复数）之一。假设V是在K上的向量空间，并且

B : V × V → K

是Hermitian形式的双线性形式，在B(x, y)总是B(y, x)的复共轭的意义上。如果

B(x, x) > 0 ，则B被称为正定

对于所有V中的非零x。如果B(x, x) ≥ 0对于所有x，B被称为正半定。负定和负半定双线性形式也类似的定义。如果B(x, x)取正和负值二者，它叫做不定的。

作为一个例子，设V=R²，并考虑双线性形式

${\displaystyle B(x,y)=c_{1}x_{1}y_{1}+c_{2}x_{2}y_{2}}$

这里的${\displaystyle x=(x_{1},x_{2})}$, ${\displaystyle y=(y_{1},y_{2})}$，而${\displaystyle c_{1}}$和${\displaystyle c_{2}}$是常数。如果${\displaystyle c_{1}>0}$且${\displaystyle c_{2}>0}$，双线性形式${\displaystyle B}$是正定的。如果这些常数中的一个是正数而其他的是零，则${\displaystyle B}$是正半定的。如果${\displaystyle c_{1}>0}$且${\displaystyle c_{2}<0}$，则${\displaystyle B}$是不定的。

给定一个Hermitian双线性形式${\displaystyle B}$，函数

${\displaystyle Q(x)=B(x,x)}$

是二次形式。${\displaystyle B}$的确定性定义同${\displaystyle Q.}$的相应定义一样。

在内积空间上的自伴随算子A是正定的，如果

(x, Ax) > 0对于所有非零向量x。

参见

• 正定函数
• 正定矩阵