统计学习理论

统计学习理论（英語：Statistical learning theory），一種機器學習的架構，根據統計學與泛函分析（Functional Analysis）而建立。統計學習理論基於資料（data），找出預測性函數，之後解決問題。支持向量机（Support Vector Machine）的理論基礎來自於統計學習理論。

形式定义

令${\displaystyle X}$为所有可能的输入组成的向量空间， ${\displaystyle Y}$为所有可能的输出组成的向量空间。统计学习理论认为，积空间${\displaystyle Z=X\times Y}$上存在某个未知的概率分布${\displaystyle p(z)=p({\vec {x}},y)}$。训练集由这个概率分布中的${\displaystyle n}$个样例构成，并用${\displaystyle S=\{({\vec {x}}_{1},y_{1}),\dots ,({\vec {x}}_{n},y_{n})\}=\{{\vec {z}}_{1},\dots ,{\vec {z}}_{n}\}}$表示。每个${\displaystyle {\vec {x}}_{i}}$都是训练数据的一个输入向量， 而${\displaystyle y_{i}}$则是对应的输出向量。

损失函数

损失函数的选择是机器学习算法所选的函数${\displaystyle f_{S}}$中的决定性因素。 损失函数也影响着算法的收敛速率。损失函数的凸性也十分重要。^[1]

根据问题是回归问题还是分类问题，我们可以使用不同的损失函数。

回归问题

回归问题中最常用的损失函数是平方损失函数（也被称为L2-范数)。类似的损失函数也被用在普通最小二乘回归。其形式是：

${\displaystyle V(f({\vec {x}}),y)=(y-f({\vec {x}}))^{2}}$

另一个常见的损失函数是绝对值范数（L1-范数）：

${\displaystyle V(f({\vec {x}}),y)=|y-f({\vec {x}})|}$

分类问题

主条目：统计分类

某种程度上说0-1指示函数是分类问题中最自然的损失函数。它在预测结果与真实结果相同时取0，相异时取1。对于${\displaystyle Y=\{-1,1\}}$的二分类问题，这可以表示为：

${\displaystyle V(f({\vec {x}}),y)=\theta (-yf({\vec {x}}))}$

其中${\displaystyle \theta }$为单位阶跃函数。

正则化

这张图片给出了机器学习中过拟合的例子。图中红点表示训练数据，绿色曲线表示真实的函数关系，而蓝色曲线为习得的过度拟合了的函数。

机器学习的一大常见问题是过拟合。由于机器学习是一个预测问题，其目标并不是找到一个与（之前观测到的）数据最拟合的的函数，而是寻找一个能对未来的输入作出最精确预测的函数。经验风险最小化有过拟合的风险：找到的函数完美地匹配现有数据但并不能很好地预测未来的输出。

过拟合的常见表现是不稳定的解：训练数据的一个小的扰动会导致学到的函数的巨大波动。可以证明，如果解的稳定性可以得到保证，那么其可推广性和一致性也同样能得到保证。^[2][3] 正则化可以解决过拟合的问题并增加解的稳定性。

正则化可以通过限制假设空间${\displaystyle {\mathcal {H}}}$来完成。一个常见的例子是把${\displaystyle {\mathcal {H}}}$限制为线性函数：这可以被看成是把问题简化为标准设计的线性回归。${\displaystyle {\mathcal {H}}}$也可以被限制为${\displaystyle p}$次多项式，指数函数，或L1上的有界函数。对假设空间的限制能防止过拟合的原因是，潜在的函数的形式得到了限制，因此防止了那些能给出任意接近于0的经验风险的复杂函数。

一个正则化的样例是吉洪诺夫正则化，即最小化如下损失函数

${\displaystyle {\frac {1}{n}}\displaystyle \sum _{i=1}^{n}V(f({\vec {x}}_{i}),y_{i})+\gamma \|f\|_{\mathcal {H}}^{2}}$

其中正则化参数${\displaystyle \gamma }$为一个固定的正参数。吉洪诺夫正则化保证了解的存在性、唯一性和稳定性。^[4]

1. Rosasco, L., Vito, E.D., Caponnetto, A., Fiana, M., and Verri A. 2004. Neural computation Vol 16, pp 1063-1076
2. Vapnik, V.N. and Chervonenkis, A.Y. 1971. On the uniform convergence of relative frequencies of events to their probabilities. Theory of Probability and its Applications Vol 16, pp 264-280.
3. Mukherjee, S., Niyogi, P. Poggio, T., and Rifkin, R. 2006. Learning theory: stability is sufficient for generalization and necessary and sufficient for consistency of empirical risk minimization. Advances in Computational Mathematics. Vol 25, pp 161-193.
4. Tomaso Poggio, Lorenzo Rosasco, et al. Statistical Learning Theory and Applications, 2012, Class 2 （页面存档备份，存于互联网档案馆）