维特代数

在数学中，复维特代数（英語：Witt algebra）是黎曼球面上某些亚纯向量场組成的李代数，其滿足：存在某兩個固定點，使各個向量場在該兩點以外皆處處全纯。它也是圆上多项式向量场的李代数和环C [ z, z ^{− 1} ] 的導子李代数的复化。維特代數得名於Ernst Witt（英语：Ernst Witt）。

有限域上的相关的李代数，也称为Witt代数。

复Witt代数由 Cartan (1909) 首先定义，Witt在1930 年代研究了有限域上的类比。

基础

Witt代数的基由向量场${\displaystyle L_{n}=-z^{n+1}{\frac {\partial }{\partial z}}}$给出，其中n属于${\displaystyle \mathbb {Z} }$.

两个向量场的李括号由下式给出

${\displaystyle [L_{m},L_{n}]=(m-n)L_{m+n}.}$

这个代数有一个称为Virasoro 代数的中心扩张，它在二维共形场论和弦论中非常重要。

通过将n限制为 1,0,-1，可以得到一个子代数。在复数域，它正好是洛伦兹群SL(2,C)的代数${\displaystyle sl(2,\mathbb {C} )}$。在实数域上，它是代数sl (2,R) = su (1,1)。反过来，su (1,1) 足以重构原代数。 ^[1]

有限域上的Witt代数

在p > 0 的域k上，Witt 代数被定义为环的导数的李代数

k [ z ]/ z ^p

对于− 1 ≤ m ≤ p − 2，Witt 代数由L_m展开得到。

参见

• Virasoro代数
• 海森堡代数

参考

1. D Fairlie, J Nuyts, and C Zachos (1988). Phys Lett B202 320-324. doi:10.1016/0370-2693(88)90478-9

• Élie Cartan, Les groupes de transformations continus, infinis, simples。 （页面存档备份，存于互联网档案馆）Ann. Sci. Ecole Norm. Sup. 26, 93-161 (1909).