逐点

在数学中，限定词逐点（英語：Pointwise）用於表明考虑某函数${\displaystyle f}$ 的每一个值${\displaystyle f(x)}$ 的确定性质。一类重要的逐点概念是逐点运算，这种运算是定义在函数上的运算，是将定义域上的每一点的函数值分别进行运算。重要的关系也可以被定义为逐点的。

逐点算子

例子包括：

逐点加法：${\displaystyle (f+g)(x)=f(x)+g(x)\,}$

逐点乘法：${\displaystyle (f\cdot g)(x)=f(x)\cdot g(x)}$

与标量的逐点乘法：${\displaystyle (\lambda f)(x)=\lambda \cdot f(x)}$

见逐点乘积、标量。

逐点运算继承了来自陪域的对应运算的性质，这些性质包括结合律、交換律和分配律。函数上的运算不是逐点运算的有卷积。

逐点关系

序理论中，普遍将逐点定义为函数上的偏序关系。若A 、B 是偏序集，则函数集A → B 可被表示成偏序关系 f ≤ g 当且仅当∀x ∈ A时f(x) ≤ g(x) 。逐点序也继承了基础偏序集的一些性质。例如，若A与B是连续格，则具有逐点序的函数集A → B 也是连续格。^[1]在函数上我们可以利用逐点序定义其他重要的概念，例如^[2]：

• 偏序集P 上的闭包算子c 是P （即投影算子）上的单调、幂等的自映射，这一自映射还具有附加性质id_A ≤ c ，其中id是恆等函數。

• 类似地，投影算子k 被称为核算子当且仅当k ≤ id_A 。

无限性逐点关系的一个例子是函数的逐点收敛：

${\displaystyle f_{n}:X\longrightarrow Y}$

若对於${\displaystyle X}$ 中的每一${\displaystyle x}$ 都有

${\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }f_{n}(x)=f(x),}$

则函数序列

${\displaystyle \{f_{n}\}_{n=1}^{\infty }}$

逐点收敛至函数${\displaystyle f}$ 。

参考文献

脚注

1. Gierz, p. xxxiii
2. Gierz, p. 26

参考书目

序理论例子出处：

• T.S. Blyth, Lattices and Ordered Algebraic Structures, Springer, 2005, ISBN 1-85233-905-5.
• G. Gierz, K. H. Hofmann, K. Keimel, J. D. Lawson, M. Mislove, D. S. Scott: Continuous Lattices and Domains, Cambridge University Press, 2003.

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