阿廷–施莱尔理论

数学中，阿廷–施莱尔理论是伽罗瓦理论的分支，具体地说是库默尔理论的正特征|类似物，用于度数等于特征p的伽罗瓦扩张。 Artin and Schreier （1927）提出了素数度p扩张的阿廷–施莱尔理论， Witt （1936）将其推广到素数度${\displaystyle p^{n}}$的扩张。

若K是特征为素数p的域，那么任何多项式的形式都是

${\displaystyle \forall \alpha \in K,\ X^{p}-X-\alpha ,\,}$

称作阿廷–施莱尔多项式。若对${\displaystyle \forall \beta \in K,\ \alpha \neq \beta ^{p}-\beta }$，则此多项式在${\displaystyle K[X]}$中不可约，其在K上的分裂域是K的p度循环扩张。这是因为对任何根β，对${\displaystyle 1\leq i\leq p}$，数β + i由费马小定理构成所有根，因此分裂域是${\displaystyle K(\beta )}$。

反过来，K的任何度数p等于K的特征的伽罗瓦扩张，都是阿廷–施莱尔多项式的分裂域。这可以用库默尔理论中的加法对应方法来证明，如希尔伯特定理90与加性伽罗瓦上同调，这些扩张称为阿廷–施莱尔扩张。

阿廷–施莱尔扩张在根式可解性理论中扮演着重要角色，表示可解链中可能的扩张类之一。 它们在阿贝尔簇及其同源理论中也发挥着作用。在特征p中，阿贝尔簇的p度同源对于函数域而言，或给出阿廷–施莱尔扩张，或给出纯不可分扩张。

阿廷–施莱尔–维特扩张

阿廷–施莱尔理论有类似的理论，即 Witt （1936）提出的用维特向量描述p幂（不只是p本身）度的特征p循环扩张。

参考文献

• Artin, Emil; Schreier, Otto, Eine Kennzeichnung der reell abgeschlossenen Körper, Abhandlungen aus dem Mathematischen Seminar der Universität Hamburg (Springer Berlin / Heidelberg), 1927, 5: 225–231, ISSN 0025-5858, doi:10.1007/BF02952522 
• Lang, Serge, Algebra, Graduate Texts in Mathematics 211 Revised third, New York: Springer-Verlag, 2002, ISBN 978-0-387-95385-4, MR1878556  Section VI.6
• Neukirch, Jürgen; Schmidt, Alexander; Wingberg, Kay, Cohomology of Number Fields, Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften 323, Berlin: Springer-Verlag, 2000, ISBN 978-3-540-66671-4, MR 1737196, Zbl 0948.11001  Section VI.1
• Witt, Ernst, Zyklische Körper und Algebren der Characteristik p vom Grad pⁿ. Struktur diskret bewerteter perfekter Körper mit vollkommenem Restklassenkörper der Charakteristik pⁿ, Journal für die reine und angewandte Mathematik, 1936, 176: 126–140 [2024-02-15], doi:10.1515/crll.1937.176.126, （原始内容存档于2015-03-26） （German）  引文格式1维护：未识别语文类型 (link)