阿达马不等式

数学中的阿达马不等式給出一個基於n维複矩陣列向量的行列式值上界。當僅套用於實數時，其可以在歐幾里得空間中，由n支向量${\displaystyle \mathbf {v} _{1}}$, ${\displaystyle \mathbf {v} _{2}}$, ${\displaystyle \ldots \mathbf {v} _{n}}$标出的体积。'^[1]

这不等式的几何意义是当向量为正交集时体积最大。这结果相对于标量乘法齊次，所以只需证明单位向量${\displaystyle \mathbf {e} _{1}}$, ${\displaystyle \mathbf {e} _{2}}$, ${\displaystyle \ldots \mathbf {e} _{n}}$的结果。在这情况，不等式指出：若${\displaystyle \mathbf {M} }$是以${\displaystyle \mathbf {e} _{i}}$为列向量的n× n 矩阵，则

${\displaystyle |\det(\mathbf {M} )|\leq 1}$。

因此，向量${\displaystyle \mathbf {v} _{i}}$的相应结果是

${\displaystyle |\det(\mathbf {A} )|\leq \prod \|\mathbf {v} _{i}\|}$，

其中${\displaystyle \mathbf {A} }$是以${\displaystyle \mathbf {v} _{i}}$为列向量的矩阵，而${\displaystyle \|\mathbf {v} _{i}\|}$是${\displaystyle \mathbf {v} _{i}}$的歐幾里得范数（长度）。（就是說若${\displaystyle \mathbf {v} _{i}}$${\displaystyle =(x_{k})_{k=1}^{n}}$，則

${\displaystyle \|\mathbf {v} _{i}\|}$${\displaystyle ={\sqrt {\sum _{k=1}^{n}x_{k}^{2}}}}$。）

在组合数学中，使等式成立以及列向量${\displaystyle \mathbf {v} _{i}}$的元素为+1和−1的矩阵是研究对象，它们称为阿达马矩阵。

參考資料

1. Hadamard theorem - Encyclopedia of Mathematics. encyclopediaofmath.org. [2021-05-11]. （原始内容存档于2021-05-13）. 

外部链接

• 科学空间：体积与阿达马不等式 （页面存档备份，存于互联网档案馆）