雙射記數

雙射記數系統（Bijective numeration）是一種表示數字的位置數值系統，每個非負整數都可使用有限數字串表示。該名稱「雙射」指的是非負整數集和用有限符號集的有限字符串集間存在雙射（即一一對應）。

大多數數字系統，例如十進制，都不是雙射的；因為不止一串數字可以表示同一個正整數：添加前導零（英语：leading zero）不會改變表示的值，例如「1」、「01」、「001」都表示數字「1」。而一進制因為只有一個數字「1」所以必然「是」雙射的。

雙射進制-k記數系統是一個雙射進位制。使用集合{1, 2, ..., k}（其中k≥1）編碼正整數；值的位置定義為「k」的冪倍數。Smullyan (1961)稱此為k-adic：用有限非零數字串表示普通整數的系統，而p-adic數是包含整數作為子集的一個數學值系統，並且可能需要無限數字序列表示。

定義

雙射進位制使用集合{1, 2, ..., k}（其中k≥ 1）來唯一編碼每個非負整數：

• 零由空字符串表示。
• 由非空數字串表示的整數

a_na_n−1 ... a₁a₀ = a_n kⁿ + a_n−1 kⁿ⁻¹ + ... + a₁ k¹ + a₀ k⁰.

• 表示整數的數字串m>0是a_na_n−1 ... a₁a₀

當

${\displaystyle {\begin{aligned}a_{0}&=m-q_{0}k,&q_{0}&=f\left({\frac {m}{k}}\right)&\\a_{1}&=q_{0}-q_{1}k,&q_{1}&=f\left({\frac {q_{0}}{k}}\right)&\\a_{2}&=q_{1}-q_{2}k,&q_{2}&=f\left({\frac {q_{1}}{k}}\right)&\\&\,\,\,\vdots &&\,\,\,\vdots \\a_{n}&=q_{n-1}-0k,&q_{n}&=f\left({\frac {q_{n-1}}{k}}\right)=0\end{aligned}}}$

且

${\displaystyle f(x)=\lceil x\rceil -1,}$

${\displaystyle \lceil x\rceil }$是不小於的最小整數x（上取整函数）

相反，標準進位制可用類似遞歸算法定義當

${\displaystyle f(x)=\lfloor x\rfloor ,}$

擴展到整數

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在${\displaystyle k>1}$進制, the bijective base-${\displaystyle k}$ numeration system could be extended to negative integers in the same way as the standard base-${\displaystyle b}$ numeral system by use of an infinite number of the digit ${\displaystyle d_{k-1}}$, where ${\displaystyle f(d_{k-1})=k-1}$, represented as a left-infinite sequence of digits ${\displaystyle \ldots d_{k-1}d_{k-1}d_{k-1}={\overline {d_{k-1}}}}$. This is because the Euler summation

${\displaystyle g({\overline {d_{k-1}}})=\sum _{i=0}^{\infty }f(d_{k-1})k^{i}=-{\frac {k-1}{k-1}}=-1}$

meaning that

${\displaystyle g({\overline {d_{k-1}}}d_{k})=f(d_{k})\sum _{i=1}^{\infty }f(d_{k-1})k^{i}=1+\sum _{i=0}^{\infty }f(d_{k-1})k^{i}=0}$

and for every positive number ${\displaystyle n}$ with bijective numeration digit representation ${\displaystyle d}$ is represented by ${\displaystyle {\overline {d_{k-1}}}d_{k}d}$. For base ${\displaystyle k>2}$, negative numbers ${\displaystyle n<-1}$ are represented by ${\displaystyle {\overline {d_{k-1}}}d_{i}d}$ with ${\displaystyle i<k-1}$, while for base ${\displaystyle k=2}$, negative numbers ${\displaystyle n<-1}$ are represented by ${\displaystyle {\overline {d_{k}}}d}$. This is similar to how in signed-digit representations, all integers ${\displaystyle n}$ with digit representations ${\displaystyle d}$ are represented as ${\displaystyle {\overline {d_{0}}}d}$ where ${\displaystyle f(d_{0})=0}$. This representation is no longer bijective, as the entire set of left-infinite sequences of digits is used to represent the ${\displaystyle k}$-adic integers, of which the integers are only a subset.

性質

對於${\displaystyle k\geq 2}$進制：

• 表示非負整數n的雙射k進位位數是${\displaystyle \lfloor \log _{k}((n+1)(k-1))\rfloor }$^[1]，與${\displaystyle \lceil \log _{k}(n+1)\rceil }$相比，k進制如果是「1」，位數就是n。
• 最小可表示為長度${\displaystyle l\geq 0}$的雙射k進制數字的非負整數是${\displaystyle min(l)={\frac {k^{l}-1}{k-1}}}$。
• 最大可表示為長度${\displaystyle l\geq 0}$的雙射k進制數字的非負整數是${\displaystyle max(l)={\frac {k^{l+1}-k}{k-1}}}$，相當於${\displaystyle max(l)=k\times min(l)}$或${\displaystyle max(l)=min(l+1)-1}$。
• 非負整數n的雙射k進制可和普通進制k相同，當且僅當普通進制不含數字「0」，或者等效地，雙射進制既不是空字符串也不包含數字k。

對於進制${\displaystyle k\geq 1}$，

• 會有${\displaystyle k^{l}}$個雙射進制，長度為${\displaystyle l\geq 0}$的k。^[2]
• 雙射進制k的列表.。用λ表示空串，1、2、3、8、10、12、16為底的數如下（這裡列出普通的表示方式以供比較）：

雙射一進制	λ	1	11	111	1111	11111	111111	1111111	11111111	111111111	1111111111	11111111111	111111111111	1111111111111	11111111111111	111111111111111	1111111111111111	...
雙射二進制	λ	1	2	11	12	21	22	111	112	121	122	211	212	221	222	1111	1112	...
二進制	0	1	10	11	100	101	110	111	1000	1001	1010	1011	1100	1101	1110	1111	10000	...
雙射三進制	λ	1	2	3	11	12	13	21	22	23	31	32	33	111	112	113	121	...
三進制	0	1	2	10	11	12	20	21	22	100	101	102	110	111	112	120	121	...
雙射八進制	λ	1	2	3	4	5	6	7	8	11	12	13	14	15	16	17	18	...
八進制	0	1	2	3	4	5	6	7	10	11	12	13	14	15	16	17	20	...
雙射十進制	λ	1	2	3	4	5	6	7	8	9	A	11	12	13	14	15	16	...
十進制	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	...
雙射十二進制	λ	1	2	3	4	5	6	7	8	9	A	B	C	11	12	13	14	...
十二進制	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	A	B	10	11	12	13	14	...
雙射十六進制	λ	1	2	3	4	5	6	7	8	9	A	B	C	D	E	F	G	...
十六進制	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	A	B	C	D	E	F	10	...

例

• 雙射五進制的34152 = 3×5⁴ + 4×5³ + 1×5² + 5×5¹ + 2×1 = 2427（十進制）
• 雙射十進制119A（A代表數值10） = 1×10³ + 1×10² + 9×10¹ + 10×1 = 1200（十進制）
  • 雙射11進制B = 11（十進制）
  • 雙射35進制Z = 35（十進制）

雙射十進制

雙射十進制系统是一种以 10 为底的位置数字系统，不使用数字来表示零，而用一个数字代表十，例如 A。

与传统的十进制一样，每个数字位置代表十的幂，因此例如 123 是“一百，加上两个十，加上三个一”。 所有在传统十进制中仅用非零数字表示的正整数（例如 123）在不带零的十进制中具有相同的表示形式。 使用零的必须重写，例如10变为A，常规20变为1A，常规100变为9A，常规101变为A1，常规302变为2A2，常规1000变为99A，常规1110变为AAA，常规2010变为19AA ， 等等。

不带零的十进制的加法和乘法本质上与传统十进制相同，只是当位置超过十时而不是超过九时发生进位。 因此，要计算 643 + 759，有十二个个位（在右边写 2，十位进位 1）、十个十（记为 A，不需要进位到百位）、十三个百（在右边写 3，进位 1）、和一个千（写 1），得到结果 13A2 而不是传统的 1402。

雙射二十六進制

在双射二十六进制系统中，可以使用拉丁字母A到Z来表示1到26。（A=1，B=2，C=3，...，Z=26）

通过选择这种表示法，数字序列（从 1 开始）开始为 A、B、C、...、X、Y、Z、AA、AB、AC、...、AX、AY、AZ、BA、BB、BC，...

每个数字位置代表二十六的幂，例如数字 ABC 代表十进制的 1 × 26² + 2 × 26¹ + 3 × 26⁰ = 731。

许多电子表格（包括 Microsoft Excel）使用此系统为电子表格的列分配标签，如 A、B、C、...、Z、AA、AB、...、AZ、BA、...、ZZ、AAA 。在 Excel 2013 中，最多可以有 16384（2¹⁴） 列，从 A 到 XFD。^[3] 该系统的一个变体用于命名变星。^[4] 它可以应用于任何需要使用字母进行系统命名的问题，同时使字符串尽可能短。

歷史

每个非负整数在双射 k (k ≥ 1) 进制中都有唯一的表示，这一事实是一个已被多次重新发现的“民间定理”。 早期的例子是 Foster (1947) （对于 k = 10），以及 Smullyan (1961) 和 Böhm (1964) （对于所有 k ≥ 1）。Smullyan 使用该系统提供逻辑系统中符号串的哥德尔编号； Böhm 使用这些表示以编程语言 P′′ 执行计算。Knuth (1969) 提到了 k = 10 的特殊情况，Salomaa (1973) 讨论了 k ≥ 2 的情况。Forslund (1995) 似乎是另一个重新发现，并提出假设说如果古代计数系统使用双射 k 进制，可能由于人们普遍不熟悉这一系统，导致考古文献中并未发现这一点。

注釋

1. How many digits are in the bijective base-k numeral for n?. Stackexchange. [22 September 2018]. 
2. Forslund (1995).
3. Harvey, Greg, Excel 2013 For Dummies, John Wiley & Sons, 2013, ISBN 9781118550007 .
4. Hellier, Coel, Appendix D: Variable star nomenclature, Cataclysmic Variable Stars - How and Why They Vary, Praxis Books in Astronomy and Space, Springer: 197, 2001, ISBN 9781852332112 .

參考

• Böhm, C., On a family of Turing machines and the related programming language, ICC Bulletin, July 1964, 3: 191 .
• Forslund, Robert R., A logical alternative to the existing positional number system, Southwest Journal of Pure and Applied Mathematics, 1995, 1: 27–29, MR 1386376, S2CID 19010664 .
• Foster, J. E., A number system without a zero symbol, Mathematics Magazine, 1947, 21 (1): 39–41, JSTOR 3029479, doi:10.2307/3029479 .
• Knuth, D. E., The Art of Computer Programming, Vol. 2: Seminumerical Algorithms 1st, Addison-Wesley, Solution to Exercise 4.1-24, p. 195, 1969 . (Discusses bijective base-10.)
• Salomaa, A., Formal Languages, Academic Press, Note 9.1, pp. 90–91, 1973 . (Discusses bijective base-k for all k ≥ 2.)
• Smullyan, R., 9. Lexicographical ordering; n-adic representation of integers, Theory of Formal Systems, Annals of Mathematics Studies 47, Princeton University Press: 34–36, 1961 .