非线性σ模型

在量子场论中，非线性σ模型（nonlinear sigma model） 描述一个纯量场 ${\displaystyle \sigma (x)\in M}$ 。M是目标流形。${\displaystyle x\in R^{3+1}}$属于閔考斯基時空。^[1]

定义

若M有黎曼张量 g，拉格朗日量是^[2]

${\displaystyle {\mathcal {L}}={1 \over 2}g^{\mu \nu }\partial _{\mu }\sigma \partial _{\nu }\sigma -V(\sigma )}$

O(3)非线性σ模型

设${\displaystyle \sigma =n}$。二维的非线性O(3)模型是

${\displaystyle {\mathcal {L}}={\tfrac {1}{2}}\ \partial ^{\mu }{\hat {n}}\cdot \partial _{\mu }{\hat {n}}}$

其中 ${\displaystyle n=(n_{1},n_{2},n_{3})}$，${\displaystyle n\cdot n=1}$，${\displaystyle x\in R^{2},\ \mu =1,2}$。

n是 S²→ S² 的函数。第三个同伦群

${\displaystyle \pi _{3}(S^{2})=\mathbb {Z} }$

可以将这些函数分类。上文理论的经典解是O(3) 瞬子。

参见

• WZW模型
• 富比尼–施图度量
• 里奇流
• 泊里雅科夫作用量
• 大N展开

参考文献

1. Gell-Mann, M.; Lévy, M., The axial vector current in beta decay, Il Nuovo Cimento (Italian Physical Society), 1960, 16: 705–726, Bibcode:1960NCim...16..705G, ISSN 1827-6121, doi:10.1007/BF02859738 
2. Gürsey, F. On the symmetries of strong and weak interactions. Il Nuovo Cimento. 1960, 16 (2): 230–240. Bibcode:1960NCim...16..230G. doi:10.1007/BF02860276. 

外部链接

• Ketov, S. V. Nonlinear Sigma model （页面存档备份，存于互联网档案馆） on Scholarpedia.
• U. Kulshreshtha, D.S. Kulshreshtha and H.J.W. Mueller-Kirsten, ``Gauge invariant O(N) nonlinear sigma model(s) and gauge invariant Klein-Gordon theory: Wess-Zumino terms and Hamiltonian and BRST formulations``, Helv.Phys.Acta 66 752-794 (1993); U. Kulshreshtha and D.S. Kulshreshtha, ``Front-form Hamiltonian, path integral and BRST formulations of the nonlinear sigma model``, Int. J. Theor. Phys. 41, 1941-1956 (2002), DOI: 10.1023/A:1021009008129.