音乐同构

在数学中，特別是黎曼幾何跟微分流形的理論裡，音乐同构（Musical isomorphism 或典范同构 canonical isomorphism）是指（伪）黎曼流形 M 的切丛 TM 与余切丛 ${\displaystyle T^{*}M}$ 之间的同构，这个同构由黎曼度量给出。不過一般地，只要流形的切丛上有一个处处非退化的双线性形式（比如辛流形上的辛形式）便可定义这样的同构。在帶有內積（或更一般的，非退化的雙線性形式）的有限維向量空間 ${\textstyle V}$，這些同構自然給出了 ${\displaystyle V}$ 和其對偶空間 ${\displaystyle V^{*}}$ 之間的同構，在這種情況一般稱這些映射為典範同構（canonical isomorphosm）。

這些運算在流形上的張量場理論裡也称为指标的上升和下降。

正式定义

黎曼流形 M 的黎曼度量 ${\displaystyle g=\sum _{ij}g_{ij}dx^{i}\otimes dx^{j}}$ 是一个二階的对称、正定张量场 ${\displaystyle g\in {\mathcal {T}}_{2}^{0}(M)}$。在任意一点 x∈M，黎曼度量會誘導出一個映射 ${\displaystyle {\widehat {g}}_{x}}$

${\displaystyle {\widehat {g}}_{x}:T_{x}M\longrightarrow T_{x}^{*}M}$

這映射給了點 ${\displaystyle x}$的切空間跟餘切空间之间的一个线性同构，对任何切向量 X_x 属于 T_xM，定義

${\displaystyle {\widehat {g}}_{x}(X_{x})=\langle X_{x},\cdot \rangle \in T_{x}^{*}M\ ,}$

其中符號 ${\displaystyle \langle \,,\rangle }$ 代表 流形上的黎曼度量。这意味着，

${\displaystyle {\widehat {g}}_{x}(X_{x})(Y_{x})=\langle X_{x},Y_{x}\rangle \ .}$

这些线性映射的集合定义了一个丛同构

${\displaystyle {\widehat {g}}:TM\longrightarrow T^{*}M\ ,}$

这是一个特别的微分同胚，在每个切空间上為線性映射。在截面的层次上即是切向量场到余切向量场的同构。在一个局部坐标 ${\displaystyle (U,x)}$下，设度量矩阵为 ${\displaystyle (g_{ij})}$，逆矩阵为 ${\displaystyle (g^{ij})}$，向量場${\displaystyle X=\alpha ^{i}{\frac {\partial }{\partial x^{i}}}}$　。则这个同构會將${\displaystyle X}$映射到

${\displaystyle {\widehat {g}}:\alpha ^{i}{\frac {\partial }{\partial x^{i}}}\mapsto \alpha ^{i}g_{ij}d\,x^{j}\ .}$

这里使用了爱因斯坦求和约定。

以上同构称为降号音乐同构（flat）用符號${\displaystyle ^{\flat }}$表示，例如以上的函數${\displaystyle {\widehat {g}}}$可表示成：${\displaystyle (\sum _{i}\alpha ^{i}{\frac {\partial }{\partial x^{i}}})^{\flat }=\sum _{ij}\alpha ^{i}g_{ij}d\,x^{j}}$；而其逆運算称为升号（sharp）用符號${\displaystyle ^{\sharp }}$表示：降号下降指标，升号上升指标，(Gallot, Hullin & Lafontaine 2004，第75頁)。升号用局部坐标表示为：

${\displaystyle {\widehat {g}}^{-1}:\xi =\alpha _{i}d\,x^{i}\mapsto \alpha _{i}g^{ij}{\frac {\partial }{\partial x^{j}}}\ .}$

这两个同构的核心是 g 为处处非退化的双线性形式，任何一个非退化的双线性形式都可给出类似的同构，对伪黎曼流形、辛流形也有类似的同构。在辛几何中，这个同构非常重要，哈密顿向量场便是由这个同构导出的。

名称由来

同构 ${\displaystyle {\widehat {g}}}$ 与其逆 ${\displaystyle {\widehat {g}}^{-1}}$ 称为“音乐同构”是因为是因为常常用兩種音樂符號 ${\displaystyle \flat ,\sharp }$來代替這些同構，比如 ${\displaystyle {\widehat {g}}(X)}$ 會寫成 ${\displaystyle X^{\flat }}$，${\displaystyle {\widehat {g}}^{-1}(\omega )}$ 會寫成 ${\displaystyle \omega ^{\sharp }}$，它们將指标向下、向上移动。例如，流形上的向量場 ${\displaystyle \textstyle X=\sum _{i}X^{i}{\frac {\partial }{\partial x^{i}}}}$ 經過 ${\displaystyle \flat }$ 映射會變成餘向量場：

${\displaystyle (\sum _{i}X^{i}{\frac {\partial }{\partial x^{i}}})^{\flat }=\sum _{ij}g_{ij}X^{i}dx^{j}:=\sum _{j}X_{j}dx^{j}\ ,}$

這裡${\displaystyle \flat }$將${\displaystyle \sum _{i}X^{i}{\frac {\partial }{\partial x^{i}}}}$映射到${\displaystyle \sum _{j}X_{j}dx^{j}}$，係數的指標從上到下，所以這運算用降號符號${\displaystyle \flat }$表示。

而餘向量 ${\displaystyle \omega =\sum _{i}\omega _{i}dx^{i}}$，經過 ${\displaystyle \sharp }$ 運算會變成向量

${\displaystyle (\sum _{i}\omega _{i}dx^{i})^{\sharp }=\sum _{ij}g^{ij}\omega _{i}{\frac {\partial }{\partial x^{j}}}\ ,}$

所以指标向下、向上移动好似符号降号（${\displaystyle \flat }$）与升号（${\displaystyle \sharp }$）下降与上升一个半音的音高(Gallot, Hullin & Lafontaine 2004，第75頁)。

梯度、散度与旋度

音乐同构可以用来定义 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ 上无坐标形式的梯度、散度与旋度：

${\displaystyle {\begin{aligned}\nabla f&=\left({\mathbf {d} }f\right)^{\sharp }\\\nabla \cdot F&=\star {\mathbf {d} }\star (F^{\flat })\\\nabla \times F&=\left[\star {\mathbf {d} }(F^{\flat })\right]^{\sharp }\end{aligned}}}$

这里 ${\displaystyle f,F}$ 分別是 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ 裡的函數跟向量場，${\displaystyle \star }$ 是霍奇星号算子(Marsden & Raţiu 1999，第135頁)。不难验证这与通常坐标形式的定义是一致的。第一个等式对更一般的黎曼流形上的光滑函数也成立。而在辛流形上，第一个等式便定义了以 f 为哈密顿量的哈密顿向量场。

此外，值得指出的是可用音乐同构和霍奇星号算子把叉积与外积联系起来，设 v 与 w 是 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ 中向量场，容易证明

${\displaystyle \mathbf {v} \times \mathbf {w} =\left[\star \left(\mathbf {v} ^{\flat }\wedge \mathbf {w} ^{\flat }\right)\right]^{\sharp }.}$

参考文献

• Gallot, Sylvestre; Hullin, Dominique; Lafontaine, Jacques, Riemannian Geometry 3rd, Berlin, New York: Springer-Verlag, 2004, ISBN 978-3-540-20493-0 .
• Marsden, Jerrold E.; Raţiu, Tudor S., Introduction to Mechanics and Symmetry 2nd, Berlin, New York: Springer-Verlag, 1999, ISBN 978-0-387-98643-2 .