马尔可夫毯

贝叶斯网络中，节点A的马尔可夫边界包括其父节点、子节点及所有子节点的其他父节点。

统计学和机器学习中，想用一组变量推断一个随机变量时，通常子集就够了，其他变量都是无用的。这种包含所有有效信息的子集就称作马尔可夫毯（Markov blanket）。若马尔可夫毯是最小的，即放弃任何变量都会损失信息，就称之为马尔可夫边界（Markov boundary）。识别马尔可夫毯和马尔可夫边界有助于提取有用特征。这两个术语是朱迪亚·珀尔 (1988)创造的。^[1]马尔可夫毯可视作是多个马尔科夫链组成的。

马尔可夫毯

随机变量集${\displaystyle {\mathcal {S}}=\{X_{1},\ldots ,X_{n}\}}$中随机变量Y的马尔可夫毯是${\displaystyle {\mathcal {S}}}$的任意子集${\displaystyle {\mathcal {S}}_{1}}$，条件是其他变量与Y相互独立：

$${\displaystyle Y\perp \!\!\!\perp {\mathcal {S}}\backslash {\mathcal {S}}_{1}\mid {\mathcal {S}}_{1}.}$$

即，${\displaystyle {\mathcal {S}}_{1}}$至少包含推断Y所需的全部信息，其中${\displaystyle {\mathcal {S}}\backslash {\mathcal {S}}_{1}}$中的变量是冗余的。

一般来说，给定的马尔可夫毯不唯一。${\displaystyle {\mathcal {S}}}$中任何包含马尔可夫毯的集合本身也是马尔可夫毯。 具体说，${\displaystyle {\mathcal {S}}}$是${\displaystyle {\mathcal {S}}}$中Y的马尔可夫毯。

马尔可夫边界

${\displaystyle {\mathcal {S}}}$中Y的马尔可夫边界是${\displaystyle {\mathcal {S}}}$的子集${\displaystyle {\mathcal {S}}_{2}}$，使得${\displaystyle {\mathcal {S}}_{2}}$本身是Y的马尔可夫毯，但${\displaystyle {\mathcal {S}}_{2}}$的真子集都不是Y的马尔可夫毯。也就是说，马尔可夫边界是最小马尔可夫毯。

贝叶斯网络中节点A的马尔可夫边界是由A的父节点、子节点与子节点的其他父节点构成的节点集。马尔可夫网络中，节点的马尔可夫边界是其邻节点集合。依赖网络中，节点的马尔可夫边界是其父节点的集合。

马尔可夫边界的唯一性

马尔可夫边界总存在。某些较温和的条件下，马尔可夫边界是唯一的。但对大多数情形，多个马尔可夫边界可能会提供不同的解。^[2]存在多个马尔可夫边界时，测量因果效应的数量可能失效。^[3]

另见

• 安德烈·马尔可夫
• 自由能原理
• 道德图
• 关注点分离
• 因果关系
• 因果推断

注释

1. Pearl, Judea. Probabilistic Reasoning in Intelligent Systems: Networks of Plausible Inference. Representation and Reasoning Series. San Mateo CA: Morgan Kaufmann. 1988. ISBN 0-934613-73-7.  含有內容需登入查看的頁面 (link)
2. Statnikov, Alexander; Lytkin, Nikita I.; Lemeire, Jan; Aliferis, Constantin F. Algorithms for discovery of multiple Markov boundaries (PDF). Journal of Machine Learning Research. 2013, 14: 499–566. 
3. Wang, Yue; Wang, Linbo. Causal inference in degenerate systems: An impossibility result. Proceedings of the 23rd International Conference on Artificial Intelligence and Statistics. 2020: 3383–3392.