麦克劳林不等式

数学中，麦克劳林不等式（Maclaurin's inequality），以科林·麦克劳林冠名，是算术几何平均不等式的加细。

设 a₁, a₂, ..., a_n 是正实数，对 k = 1, 2, ..., n 定义平均 S_k 为

${\displaystyle S_{k}={\frac {\displaystyle \sum _{1\leq i_{1}<\cdots <i_{k}\leq n}a_{i_{1}}a_{i_{2}}\cdots a_{i_{k}}}{\displaystyle {n \choose k}}}.}$

这个分式的分子是度数为 n 变元 a₁, a₂, ..., a_n 的 k 阶基本对称多项式，即 a₁, a₂, ..., a_n 中指标递增的任意 k 个数乘积之和。分母是分子的项数，二项式系数 ${\displaystyle \scriptstyle {n \choose k}}$。

麦克劳林不等式是如下不等式链：

${\displaystyle S_{1}\geq {\sqrt {S_{2}}}\geq {\sqrt[{3}]{S_{3}}}\geq \cdots \geq {\sqrt[{n}]{S_{n}}}}$

等号成立当且仅当所有 a_i 相等。

对 n = 2，这个给出两个数通常的几何算术平均不等式。n = 4 的情形很好地展示了麦克劳林不等式:

${\displaystyle {\begin{aligned}&{}\quad {\frac {a_{1}+a_{2}+a_{3}+a_{4}}{4}}\\\\&{}\geq {\sqrt {\frac {a_{1}a_{2}+a_{1}a_{3}+a_{1}a_{4}+a_{2}a_{3}+a_{2}a_{4}+a_{3}a_{4}}{6}}}\\\\&{}\geq {\sqrt[{3}]{\frac {a_{1}a_{2}a_{3}+a_{1}a_{2}a_{4}+a_{1}a_{3}a_{4}+a_{2}a_{3}a_{4}}{4}}}\\\\&{}\geq {\sqrt[{4}]{a_{1}a_{2}a_{3}a_{4}}}.\end{aligned}}}$

证明

麦克劳林不等式可用牛顿不等式证明。证明的思路是运用归纳法：

• 首先证明

  ${\displaystyle S_{1}\geq {\sqrt {S_{2}}}}$

  也就是：${\displaystyle (n-1)(\sum _{k=1}^{n}a_{k})^{2}\geq 2n\sum _{1\leq i<j\leq n}^{n}a_{i}a_{j}}$。

  这个式子等价于${\displaystyle (n-1)\sum _{k=1}^{n}a_{k}^{2}\geq 2\sum _{1\leq i<j\leq n}^{n}a_{i}a_{j}}$，

  也就是：${\displaystyle \sum _{1\leq i<j\leq n}^{n}(a_{i}-a_{j})^{2}\geq 0}$。因此成立。

• 其次，假设对某个${\displaystyle k\geq 2}$，已经证明了${\displaystyle {\sqrt[{k-1}]{S_{k-1}}}\geq {\sqrt[{k}]{S_{k}}}}$，那么也就等于说证明了：

  ${\displaystyle S_{k-1}^{k}\geq S_{k}^{k-1}}$

  牛顿不等式说明，还有：${\displaystyle S_{k}^{2}\geq S_{k+1}S_{k-1}}$

  这个不等式两边作k 次乘幂，就得到：${\displaystyle S_{k}^{2k}\geq S_{k+1}^{k}S_{k-1}^{k}}$

  从而：${\displaystyle S_{k}^{2k}\geq S_{k+1}^{k}S_{k}^{k-1}}$

  ${\displaystyle S_{k}^{k+1}\geq S_{k+1}^{k}}$

  ${\displaystyle {\sqrt[{k}]{S_{k}}}\geq {\sqrt[{k+1}]{S_{k+1}}}}$

于是，综上所述，可以证明对所有的${\displaystyle 1\leq k\leq n-1}$，都有：

${\displaystyle {\sqrt[{k}]{S_{k}}}\geq {\sqrt[{k+1}]{S_{k+1}}}}$

麦克劳林不等式得证。

参见

• 牛顿不等式
• Muirhead不等式
• 广义平均不等式

参考

• Biler, Piotr; Witkowski, Alfred. Problems in mathematical analysis. New York, N.Y.: M. Dekker. 1990. ISBN 0824783123.  引文使用过时参数coauthors (帮助)

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