Ánh xạ đóng và mở

Trong topo học, một ánh xạ mở là một hàm giữa hai không gian topo ánh xạ từ tập mở vào tập mở.^[1] Có nghĩa là, một hàm số f: X → Y là ánh xạ mở nếu bất kỳ một tập mở U trong X, thì ảnh f(U) cũng là tập mở trong Y. Tương tự, một ánh xạ đóng là ánh xạ từ tập đóng vào tập đóng. Tóm tắt định nghĩa:

• Một ánh xạ ${\displaystyle f:\,X\rightarrow Y}$ được gọi là một ánh xạ mở nếu cho mỗi tập ${\displaystyle U}$ mở trong ${\displaystyle X}$, tập ${\displaystyle f(U)}$ mở trong ${\displaystyle Y}$.
• Một ánh xạ ${\displaystyle f:\,X\rightarrow Y}$ được gọi là một ánh xạ đóng nếu cho mỗi tập ${\displaystyle U}$ đóng trong ${\displaystyle X}$, tập ${\displaystyle f(U)}$ đóng trong ${\displaystyle Y}$.

Tính chất

Một hàm f: X → Y là ánh xạ mở khi và chỉ khi mọi x thuộc X và tất cả lân cận U của x, thì tồn tại một lân cận V của f(x) sao cho V ⊂ f(U).

Ánh xạ đóng và mở có thể được xác định bằng các phép toán nội hàm. Cho f: X → Y là một hàm. Thì:

• f là mở khi và chỉ khi f(A°) ⊆ f(A)° với mọi A ⊆ X
• f là đóng khi và chỉ khi f(A)⁻ ⊂ f(A⁻) với mọi A ⊂ X

Chú thích

1. Munkres, James R. (2000). Topology (ấn bản thứ 2). Prentice Hall. ISBN 0-13-181629-2.